高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷6

高中数学人教A版选择性必修第一册阶段检测试卷6 第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1．过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D． 2．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）
A． B． C． D． 3．在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；

④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 5．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 6．如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D． 二、多选题 7．已知双曲线：与椭圆有公共焦点，的左､右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程为 B．若直线与双曲线无交点，则 C．设，过点的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率存在，且分别记为，，则 D．若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，则（为坐标原点）的面积为定值1 8．在棱长为1的正方体中，为侧面（不含边界）内的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A．线段的长度为 B．的最小值为1 C．对任意点，总存在点，便得 D．存在点，使得直线与平面所成的角为60° 第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 9．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论：
①的最小值是4；

②点的轨迹是一个圆；

③若点，点，则存在点，使得；

④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是________． 10．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______. 11．抛物线与双曲线上一点的有共同的焦点，两曲线在第一象限的交点为，且到焦点的距离为5，则双曲线的离心率=______． 12．已知圆，直线，点，点.给出下列4个结论：
①当时，直线与圆相离；

②若直线是圆的一条对称轴，则；

③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；

④为圆上的一动点，若，则的最大值为. 其中所有正确结论的序号是__________. 四、解答题 13．平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.关于原点的对称点为，圆的半径等于，以为圆心的动圆过且与圆相切. （1）求动点的轨迹曲线的标准方程；

（2）四边形内接于曲线，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，设直线的斜率分别是，且. （i）记直线的交点为，证明：点在定直线上；

（ii）证明：. 14．如图，在直角中， ，角，，所对的边长分别为，，. 边的中线所在直线方程为；
边的中线所在直线方程为. （1）若点坐标为，求外接圆的方程；

（2）若，求的面积. 15．已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，（点在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．点在椭圆上． （1）求椭圆的焦距；

（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；

（3）求直线倾斜角的最小值． 16．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，. （1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q. ①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；
若不存在，请说明理由. ②求证：为定值. 参考答案 1．A 【分析】 由已知设切点坐标为，，利用导数写出切线，的方程，联立求出交点坐标，，代入重心坐标公式利用已知条件可求出的坐标为，再代入抛物线方程，求出，进而求的焦点坐标． 【详解】 设切点坐标为，， 由，得，所以， 故直线的方程为，即， 同理直线的方程为， 联立，的方程可得，， 设的重心坐标为，则，， 即所以，则的坐标为， 将点坐标代入抛物线，得到，解得， 故的焦点坐标为. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题. 2．B 【分析】 作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果. 【详解】 由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：
故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得 当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切， 设直线方程为：， 联立，整理得， 其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则 则，解得：，此时，即或 所以点的坐标且 由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为 设双曲线的实轴长为2a，则，， 又，则 故渐近线斜率的平方为 故选：B 【点睛】 方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：
①直接求出，从而求出；
②构造的齐次式，求出；
③采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解；
④根据圆锥曲线的统一定义求解． 3．A 【分析】 ①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；

③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】 解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，， ，，如右图，结合三角形的相似可得，， 为，，，或，，，则，，，；

若，或，对调，可得，，，；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ，，，；

则对任意的三点，，，都有，，，；
故①正确；

设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值；

由，解得或，即有， 的范围是，，，．无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 故②正确；

③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则， 若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；

④定点、，动点 满足，，， 可得不轴上，在线段间成立， 可得，解得， 由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足，，， 即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点． 故④正确；

综上可得，真命题的个数为4个， 故选:. 【点睛】 本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 4．B 【详解】 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|， ∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴， 设PA的倾斜角为，则， 当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切， 设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0， ∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1）， ∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为． 故选B． 点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用. 5．B 【分析】 由题意，,，，先求出直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由，可得点M在射线上．再求出直线y＝ax+b（a＞0）和的交点N的坐标，分三种情况讨论：①若点M和点重合，求得；
②若点M在点O和点之间，求得；
③若点M在点的左侧，求得．求并集即可得b的取值范围． 【详解】 解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点， 所以，，从而有， 所以,，， 由题意，三角形的面积为1， 设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上． 设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为． ①若点M和点重合，如图：
则点N为线段的中点，故N， 把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b． ②若点M在点O和点之间，如图：
此时，点N在点和点之间， 由题意可得三角形的面积等于，即， 即，可得a，求得， 故有． ③若点M在点的左侧， 则，由点M的横坐标，求得b＞a． 设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即， 即，化简可得． 由于此时b＞a＞0，所以 ． 两边开方可得 ，所以，化简可得， 故有． 综上，b的取值范围应是. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键是，由题意分析得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点M在射线上，然后分三种情况进行讨论：①若点M和点重合；
②若点M在点O和点之间；
③若点M在点的左侧． 6．B 【分析】 设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角与夹角的余弦值.结合即可求得的取值范围,即可得的最大值. 【详解】 设底面圆的半径为,,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示: 则由 可得, ,是的两个三等分点 则 所以 设平面的法向量为 则,代入可得 化简可得 令,解得 所以 平面的法向量为 由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足 设二面角的法向量为 则代入可得 化简可得 令,解得 所以 平面的法向量为 由图可知, 二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足 由二面角的范围可知 结合余弦函数的图像与性质可知 即 化简可得,且 所以 所以的最大值是 故选:B 【点睛】 本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题. 7．ACD 【分析】 对A，根据椭圆与双曲线共焦点及双曲线过点T建立方程组解出a,b，进而得到答案；

对B，结合双曲线的渐近线即可判断B；

对C，设出动直线方程并代入双曲线方程，进而结合根与系数的关系求得答案；

对D，考虑动直线斜率存在和不存在两种情况，若斜率存在，设出直线的斜截式，并代入双曲线方程，根据判别式为0得到间的关系，然后解出点M的坐标，求出和O到直线的距离，最后求出面积. 【详解】 对于A选项，由题意，且，联立解得，所以双曲线的标准方程为，故A正确；

对于B选项，因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，则，故B错误；

对于C选项，过点的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为.设，，联立得，所以解得且且，，，则，故C正确；

对于选项D，由于动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，，当直线的斜率不存在时，：，，；
当动直线的斜率存在时，且斜率时，不妨设直线：，故由，从而，化简得.又因为双曲线的渐近线方程为，故由从而点.同理可得，，所以，又因为原点到直线：的距离，所以，又由，所以，故的面积为定值1，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题的选项D比较复杂，对于此类问题要注意两个方面：①设直线方程（斜截式结构简单）时一定要考虑直线的斜率是否存在；
②思路一定要直接，既然求三角形的面积，那么最直接的方法就是求出三角形的底和高. 8．ABC 【分析】 对选项，直接通过建立空间直角坐标系，表示出线段，即可求得；

对选项，转化为是关键，然后通过坐标表示出即可求得的最小值为1；

对选项，通过关系建立方程，结合点的坐标满足，得到关于的一元二次方程，再通过判别式即可判断出对任意点，总存在点，便得；

对选项，通过先求平面的法向量，然后根据直线与平面所成的角为60°建立方程，解得，故矛盾，故选项错误. 【详解】 建立如上图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，，，，，，， 设点，，由直线与的夹角为，则有：
， 故有：
解得：
为线段上的动点，则有：（）
解得：
对选项，则有：，故选项正确；

对选项，过点作平面的垂线，垂足为 易知：（由于）
故的最小值等价于求 故有：
当且仅当时成立，结合，可得此时 故选项正确；

对选项，若，则有：， ，又 则有：
则有：
又，则有：，故对任意点，总存在点，便得，故选项正确；

对选项，易知平面的法向量为，若直线与平面所成的角为，即直线与平面的法向量成，则有：
解得：，矛盾，故选项错误. 故选：
【点睛】 解决立体几何问题通常有两种方法：
是建立空间直角坐标系，运用空间向量的运算与性质解决立体几何的问题，将问题转化为代数运算，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量；

二是通过传统的几何方法，需要较高的空间想象力. 9．①②④ 【分析】 ①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；
②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；
③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；
④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值. 【详解】 点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确；

设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确；

为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误；

当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】 轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解. 10． 【分析】 建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率. 【详解】 以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）
则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率 故答案为：
【点睛】 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

11． 【详解】 试题分析：抛物线，，， . 考点：1.抛物线与双曲线的位置关系；
2.双曲线离心率. 【思路点晴】抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出 “两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 12．①②④ 【分析】 对于①：，，圆心，半径，直线与圆相离；
对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即可得到；
对于③：由垂径定理，，设.得到，但两处等号无法同时取到，矛盾；
对于④：为圆上的一个动点.若，设，利用参数方程解决即可. 【详解】 对于①：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述①正确；

对于②：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述②正确；

本题的难点主要聚焦于③、④，如图所示：
设的中点为，以为直径作圆，连接．则 对于③：由垂径定理，，设. 一方面，若，则. 当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为. 另一方面，当时，直线. 故点到直线的距离.此时. 当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为. 对比发现，，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误. 对于④：为圆上的一个动点.若，设， 则. 注意到， 故 当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系变形，以及圆更深层次的定义，难度较大，能够正确画出示意图是解决问题的关键. 13．（1）；
（2）（i）证明见解析；
（ii）证明见解析. 【分析】 （1）由抛物线定义表示出，即可求出点的坐标，由此求出的值，进而求出抛物线的方程，然后求出点，的坐标，利用椭圆的定义即可求出动点的轨迹方程；
（2）（i）设出点的坐标，然后分别设出直线，的方程，求出，的关系式，利用已知建立等式关系，再由为四边形，即可证明；
（ii）求出，的坐标，即可求出直线的斜率，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式表示出，并令该关系式等于，化简求出直线的斜率，由此即可证明． 【详解】 解：（1）由题知：，所以， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为，， 设动圆的半径为，由题意知，， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其长轴长焦距为，， 所以曲线的标准方程为：. （2）（i）设点，因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，整理得， 因为为四边形，所以， 所以点在定直线上；

（ii）由题知，直线， 设，直线， 将代入得， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 所以，解得， 所以. 14． （1）
（2）100 【分析】 （1）设点坐标为，则坐标为代入可得点的坐标，同理可得点的坐标，求出的中点坐标即为外接圆圆心，计算，即可得外接圆的方程; （2）利用重心的性质得到，，，用平面向量的数量积得到：，用到角公式求出，进而得到，，再利用面积公式得到，最终求得 （1）
因为点在直线上，设点坐标为， 因为点坐标为，是的中点，所以点坐标为， 因为点在直线上， 所以，解得：，所以， 设点，则， 所以，解得：， 所以点的坐标为， 因为，所以线段是外接圆的直径， 的中点坐标为，半径， 所以外接圆的方程为：. （2）
设与相交于点G，则联立方程：，解得：， 所以，点G是的重心，则有， 则 因为， 故 因为，所以，故 因为，所以 所以 设直线的斜率为，直线的斜率为 则由到角公式得：
因为点G在圆的内部，所以∠BGC为钝角 则， 解得：
所以 所以 【点睛】 平面直角坐标系下的解三角形，要充分利用题干中的条件，比如重心的性质，到角公式尤为重要，可以很好的由直线的斜率转化为角的正切值，再结合平面向量，正弦定理，余弦定理和面积公式等参与运算，最后求出结果. 15．（1）；
（2）证明见解析；
（3）． 【分析】 （1）把点代入椭圆方程，解出，即可求焦距；

（2）设，，则直线的斜率，直线的斜率，进而可证明：；

（3）把直线的斜率用表示，，再结合基本不等式求的最小值，即可求直线倾斜角的最小值． 【详解】 （1）把点代入椭圆方程得到，解得， 焦距为， （2）设，由，可得，． 所以直线的斜率， 直线的斜率． 此时，所以为定值． （3）设，，直线的方程为，直线的方程为． 联立，整理得．由可得，所以， 同理， 所以， 所以， 所以． 由，，可知，所以，等号当且仅当时取得． 此时，即，符合题意， 所以直线的斜率的最小值为． 所以倾斜角的最小值为． 【点睛】 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的应用，考查数学运算的核心素养，属于难题． 16． （1）
（2）①存在，；
②证明见解析 【分析】 （1）根据当轴时，易得，求出，即可得出答案；

（2）①设直线l的方程为，联立直线与抛物线方程，消，设，，利用韦达定理求得，从而可求得线段AB的中点N的坐标连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点，求得点的坐标，设直线PQ的方程为，代入抛物线C的方程，利用韦达定理可求的点的坐标，从而可求得点的坐标；

②利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，再利用弦长公式求得，从而可求的，同理可得，从而可得出结论. （1）
解：当轴时，易得， 所以，解得， 所以抛物线C的方程为；

（2）
①解：易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 代入抛物线C的方程，并整理得， 设，，由根与系数的关系得，. 所以，所以线段AB的中点N的坐标为，连接QM，若四边形AQBM为平行四边形，则N是QM的中点， 易知，因此， 设直线PQ的方程为，代入抛物线C的方程，整理得， 所以， 故，因此， 故可得，， 故点M的坐标为， 因此存在定点，使得四边形AQBM为平行四边形；

②证明：点到直线的距离， 由，，可得， 因此， 同理可得， 所以，为定值. 【点睛】 本题考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线中的存在性问题和定值问题，考查了学生的数据分析能力和计算能力，难度较大.