华师大版九年级上册数学全册教案

第21章　二次根式 21．1　二次根式 1．理解二次根式的概念，并利用(a≥0)的意义解答具体题目． 2．理解(a≥0)是非负数和()2＝a. 3．理解＝a(a≥0)并利用它进行计算和化简． 重点 1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 2.(a≥0)是一个非负数；
()2＝a(a≥0)及其运用． 3.＝ 难点 利用“(a≥0)”解决具体问题． 关键：用分类思想的方法导出(a≥0)是一个非负数；
用探究的方法导出＝ 一、复习引入 回顾：
当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根． 当a是零时，等于0，它表示零的算术平方根． 当a是负数时，没有意义． 二、探究新知 概括：(a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数，它的平方等于a.即有：
(1)≥0(a≥0)；
(2)()2＝a(a≥0)． 形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 注意：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数． 思考：等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律． 概括：当a≥0时，＝a；
当a<0时，＝－a. 三、练习巩固 1．x取什么实数时，下列各式有意义？ (1)；
　　　　(2)；

(3)；

(4)＋. 2．计算下列各式的值：
(1)()2; (2)()2；

(3)()2; (4)(3)2. 3．若＋＝0，求a2020＋b2020的值． 4．化简：
(1)；

(2)；

(3)；

(4). 5．若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋. 四、小结与作业 小结 1．师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：
(1)()2＝a(a≥0)；

(2)当a≥0时，＝a；
当a<0时，＝－a. 2．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流． 布置作业 从教材相应练习和“习题21.1”中选取． 本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2　二次根式的乘除 21．2.1　二次根式的乘法 理解·＝(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简． 由具体数据发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)并运用它进行计算． 通过探究·＝(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣． 重点 ·＝(a≥0，b≥0)及它的应用． 难点 发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)． 一、情境引入 1．填空：
(1)×＝________， 　＝________；

(2)×＝________， 　＝________；

(3)×＝________， 　＝________． 参照上面的结果，用“>”、“<”或“＝”填空． ×________；

×________；

×________. 2．利用计算器计算填空． ×________；

×________；

×________；

×________. 二、探究新知 (学生活动)让3，4个同学上台总结规律． 教师点评：(1)被开方数都是正数；
(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积． 一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝(a≥0，b≥0)． 例1　计算：
(1)×；
　　　　(2)×；

(3)×. 解：(1)×＝；

(2)×＝＝；

(3)×＝＝. 三、练习巩固 1．直角三角形两条直角边的长分别为 cm和 cm，那么此直角三角形斜边长是(　　) A．3 cm　　　　　　　　B．3 cm C．9 cm D．27 cm 2．化简a的结果是(　　) A. B. C．－ D．－ 3．等式·＝成立的条件是(　　) A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是(　　) A．4×2＝8 B．5×4＝20 C．4×3＝7 D．5×4＝20 四、小结与作业 小结 1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳二次根式的乘法规定 ·＝(a≥0，b≥0)． 布置作业 从教材“习题21.2”中选取． 这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣． 21．2.2　积的算术平方根 1．理解＝·(a≥0，b≥0)． 2．运用＝·(a≥0，b≥0)． 重点 ＝·(a≥0，b≥0)及其应用． 难点 ＝·(a≥0，b≥0)的理解与应用． 一、情境引入 一般地，对二次根式的乘法规定为 ·＝(a≥0，b≥0)． 反过来，＝·(a≥0，b≥0)． 二、举例分析 教师用多媒体出示例1，引导学生利用＝·(a≥0，b≥0)直接化简． 例1　化简：
(1)；
　　　　　(2)；

(3)；

(4). 解：(1)＝×＝3×4＝12；

(2)＝×＝4×9＝36；

(3)＝×＝9×10＝90；

(4)＝＝×＝3. 教师用多媒体出示例2，学生板演，集体讲评，注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0. 例2　判断下列各式是否正确，不正确的请改正：
(1)＝×；

(2)×＝4×× ＝4×＝4＝8. 三、练习巩固 1．化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4). 2．自由落体的公式为s＝gt2(g为重力加速度，它的值约为10 m/s2)，若物体下落的高度为120 m，则下落的时间是________s. 四、小结与作业 小结 1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即 ＝·(a≥0，b≥0)． 布置作业 从教材“习题21.2”中选取． 本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.21.2.3　二次根式的除法 1．理解＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)，并运用它们进行计算． 2．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 3．理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式． 重点 1．理解＝(a≥0，b>0)，＝(a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简． 2．最简二次根式的运用． 难点 发现规律，归纳出二次根式的除法规定．最简二次根式的运用． 一、情境引入 (学生活动)请同学们完成下列各题． 1．写出二次根式的乘法规定及逆向公式． 2．填空：
(1)＝________，＝________；

(2)＝________，＝________；

(3)＝________，＝________；

(4)＝________，＝________． 规律：
________；
________；

________；
________. 3．利用计算器计算填空：
(1)＝________；
(2)＝________；

(3)＝________；
(4)＝________． 规律：
________；
________；

________；
________. 教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评． 二、探究新知 刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定 ＝(a≥0，b>0)． 反过来，＝(a≥0，b>0)． 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1　计算：
(1)；
　　　　　　　　(2)÷；

(3)÷；

(4). 解：(1)＝＝＝2；

(2)÷＝＝＝＝ ×＝2；

(3)÷＝＝＝＝2；

(4)＝＝＝2. 例2　化简：
(1)；
　　　　　(2)；

(3)；

(4). 解：(1)＝3；

(2)＝＝；

(3)＝＝；

(4)＝＝. 观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：
(1)被开方数中不含分母；

(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幂的指数都小于2. 教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式． 三、练习巩固 1．化简：
(1)3；
　　　　　(2)－；

(3)；

(4). 2．已知＝，则a的取值范围是________． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5 cm，BC＝6 cm，求AB的长． 第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导． 四、小结与作业 小结 请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上． 布置作业 从教材“习题21.2”中选取． 本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情． 21．3　二次根式的加减 1．掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式． 2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法． 重点 二次根式加减法的运算． 难点 探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算． 一、情境引入 1．合并同类项：
(1)2x＋3x；
　　　(2)2x2－3x2＋5x2. 解：(1)5x；
(2)4x2. 这几道题是你运用什么知识做的？加减法则． 2．化简：
(1)；
　　　　(2). 解：(1)；
(2)4. 3．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并． 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如2与3；
2，3与5. 二、探究新知 例1　计算：
(1)2＋3；

(2)2－3＋5；

(3)＋2＋3；

(4)3－2＋. 教师多媒体展示例1.(1)如果我们把当成x，不就转化成上面的问题了吗？ 因此，二次根式的被开方数相同的可以合并，如2与表面上看是不同的，但它们可以合并． 归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并． 例2　计算：
(1)2－6＋3；

(2)(＋)＋(－)． 教师多媒体展示例2.学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视． 三、练习巩固 1．下列计算是否正确？为什么？ (1)－＝；

(2)＋＝；

(3)3－＝2. 2．以下二次根式：①；
②；
③；
④中，与是同类二次根式的是(　　) A．①和②　　　　　　B．②和③ C．①和④ D．③和④ 3．计算：
(1)－＋；

(2)＋(－)；

(3)(＋)－(＋)；

(4)3－9＋3. 4．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值． (1)x2＋2xy＋y2；
　　　(2)x2－y2. 教师多媒体展示，点名回答第1，2题，第3题学生板演，教师点评． 四、小结与作业 小结 请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点． 布置作业 从教材相应练习和“习题21.3”中选取． 本节课通过复习整式的加减法、合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣． 第22章　一元二次方程 22．1　一元二次方程 1．知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识． 重点 判定一个数是否是方程的根． 难点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 一、情境引入 教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题． 问题1　绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900 整理可得 x2＋10x－900＝0.(1) 问题2　学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率． 解：设这两年的年平均增长率为x. 我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册， 同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1＋x)倍，即5(1＋x)·(1＋x)＝5(1＋x)2万册， 可列得方程5(1＋x)2＝7.2， 整理可得 5x2＋10x－2.2＝0.　(2) 二、探究新知 教师指出问题，学生小组讨论，归纳． 问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点：
(1)都是整式方程；

(2)只含有一个未知数；

(3)未知数的最高次数是2. 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 例1　判断下列方程是否为一元二次方程：
①1－x2＝0；
　　　　　②2(x2－1)＝3y；

③2x2－3x－1＝0; ④－＝0；

⑤(x＋3)2＝(x－3)2; ⑥9x2＝5－4x. 解：①是；
②不是；
③是；
④不是；
⑤不是；
⑥是． 【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程；
(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断． 例2　将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：2x2－13x＋11＝0；
2，－13，11. 三、练习巩固 1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)5x2－1＝4x；

(2)4x2＝81；

(3)4x(x＋2)＝25；

(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3. 解：(1)5x2－4x－1＝0；
5，－4，－1；

(2)4x2－81＝0；
4，0，－81；

(3)4x2＋8x－25＝0；
4，8，－25；

(4)3x2－7x＋1＝0；
3，－7，1. 2．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 解：(1)4x2＝25；
4x2－25＝0；

(2)x(x－2)＝100；
x2－2x－100＝0；

(3)x＝(1－x)2；
x2－3x＋1＝0. 3．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值． 解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根． ∴4a＋8－5＝0， 解得a＝－. 四、小结与作业 小结 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的． 3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.1”中选取． 学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题． 22．2　一元二次方程的解法 22．2.1　直接开平方法和因式分解法 1．会用直接开平方法解形如a(x－k)2＝b(a≠0，ab≥0)的方程． 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程． 3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用． 重点 利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程． 难点 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程． 一、情境引入 教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书． 问：怎样解方程(x＋1)2＝256? 解：方法1：直接开平方，得x＋1＝±16， ∴原方程的解是x1＝15，x2＝－17. 方法2：原方程可变形为 (x＋1)2－256＝0， 方程左边分解因式，得(x＋1＋16)(x＋1－16)＝0， 即(x＋17)(x－15)＝0， ∴x＋17＝0或x－15＝0， 原方程的解是x1＝15，x2＝－17. 二、探究新知 教师多媒体展示，学生板演，教师点评． 例1　用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x＋1)2＝7；
　　　(2)y2＋2y＋1＝24；

(3)9n2－24n＋16＝11. 解：(1)；

(2)－1±2；

(3). 【教学说明】运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根． 例2　用因式分解法解下列方程：
(1)5x2－4x＝0；

(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；

(3)(x＋5)2＝3x＋15. 解：(1)x1＝0，x2＝；

(2)x1＝，x2＝－；

(3)x1＝－5，x2＝－2. 【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想． 三、练习巩固 教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评． 1．用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x－1)2－6＝0；

(2)x2－4x＋4＝5；

(3)(x＋5)2＝25；

(4)x2＋2x＋1＝4. 解：(1)x1＝1＋，x2＝1－；

(2)x1＝2＋，x2＝2－；

(3)x1＝0，x2＝－10；

(4)x1＝1，x2＝－3. 2．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋x＝0；
　　　　　(2)x2－2x＝0；

(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；

(5)(x－4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x1＝0，x2＝－1；

(2)x1＝0，x2＝2；

(3)x1＝x2＝1；

(4)x1＝，x2＝－；

(5)x1＝3，x2＝1. 3．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程2πx2＝π(x＋5)2， 解得x1＝5＋5，x2＝5－5(舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋5) m. 四、小结与作业 小结 1．引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 2．对于形如a(x－k)2＝b(a≠0，ab≥0)的方程，只要把(x－k)看作一个整体，就可转化为x2＝n(n≥0)的形式用直接开平方法解． 3．当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.2”中选取． 本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想． 22．2.2　配方法 1．使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程． 2．在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能． 重点 使学生掌握用配方法解一元二次方程． 难点 发现并理解配方的方法． 一、情境引入 教师多媒体展示问题，引导学生解决问题． 问题　要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？ 解：设场地的宽为x m，则长为(x＋6) m， 根据矩形面积为16 m2，得到方程 x(x＋6)＝16， 整理得到 x2＋6x－16＝0． 二、探究新知 教师多媒体展示问题，用问题唤起学生的回忆，明确该问题的特点． 探究　如何解方程x2＋6x－16＝0? 问题1　通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明． 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(x＋m)2＝n(n≥0)，运用直接开平方法可求解． 问题2　你会用直接开平方法解下列方程吗？ (1)(x＋3)2＝25；

(2)x2＋6x＋9＝25；

(3)x2＋6x＝16；

(4)x2＋6x－16＝0. 教师重点讲解第3小题． 解：移项，得x2＋6x＝16， 两边都加上__9__即__()2__， 使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得 __x__2＋6__x__＋9＝16＋__9__， 左边写成完全平方形式，得 __(x＋3)2＝25__， 开平方，得__x＋3＝±5__，(降次) 即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__， 解一次方程得x1＝__2__，x2＝__－8__． 【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法． 教师展示课件，让学生自主完成以下例题，小组展示，教师点评归纳． 例1　填空：
(1)x2＋8x＋___16___＝(x＋__4__)2；

(2)x2－x＋____＝(x－____)2；

(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2. 例2　解下列方程：
(1)x2＋6x＋5＝0；
　　　　(2)2x2＋6x＋2＝0；

(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)x1＝－1，x2＝－5；

(2)x1＝－，x2＝－－；

(3)x1＝－2，x2＝－－2. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

(2)把常数项移到方程的右边；

(3)方程两边同时除以二次项系数a；

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用直接开平方法来解． 三、练习巩固 学生独立解答以下练习，小组内交流，上台展示并讲解思路． 1．用配方法解下列方程：
(1)2x2－4x－8＝0；

(2)x2－4x＋2＝0；

(3)x2－x－1＝0. 2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值． 四、小结与作业 小结 1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.2”中选取． 本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程． 22．2.3　公式法 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练应用公式法解一元二次方程． 重点 求根公式的推导和公式法的应用． 难点 一元二次方程求根公式的推导． 一、情境引入 用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0；
　　　(2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－1，x2＝－2；
　(2)无解． 二、探究新知 教师多媒体展示问题，引导学生利用配方法推出求根公式，学生小组展示． 如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ 问题　已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝， x2＝. 【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去． 探究　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac<0时，方程没有实数根；

(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式；

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 教师板演第①小题，学生可自主完成余下的题目，小组展示，教师点评． 例　用公式法解下列方程：
①2x2－4x－1＝0；
　　　　②5x＋2＝3x2；

③(x－2)(3x－5)＝0; ④4x2－3x＋1＝0. 解：①x1＝1＋，x2＝1－；

②x1＝2，x2＝－；

③x1＝2，x2＝；

④无解． 三、练习巩固 教师展示课件，学生自主完成，小组内交流．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－12＝0；

(2)x2－x－＝0；

(3)x2＋4x＋8＝2x＋11；

(4)x(x－4)＝2－8x；

(5)x2＋2x＝0；

(6)x2＋2x＋10＝0. 四、小结与作业 小结 1．求根公式的概念及其推导过程． 2．公式法的概念． 3．应用公式法解一元二次方程． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.2”中选取． 在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率． 22．2.4　一元二次方程根的判别式 1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证． 2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围． 重点 根的判别式的正确理解与应用． 难点 含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用． 一、情境引入 教师多媒体展示，回顾已有知识． 用公式法解下列一元二次方程：
(1)x2＋5x＋6＝0；

(2)9x2－6x＋1＝0；

(3)x2－2x＋3＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－3；

(2)x1＝x2＝；

(3)无解． 二、探究新知 教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题． 观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a，b，c的值，然后求出b2－4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac. 我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：
(x＋)2＝. 【归纳结论】(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根：
x1＝，x2＝；

(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：
x1＝x2＝－；

(3)当Δ<0时，方程没有实数根． 例1　利用根的判别式判定下列方程的根的情况：
(1)2x2－3x－＝0；
　　(2)16x2－24x＋9＝0；

(3)x2－4＋9＝0; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；

(2)有两个相等的实数根；

(3)无实数根；

(4)有两个不相等的实数根． 三、练习巩固 教师多媒体展示问题，引导学生灵活运用知识，学生小组内交流． 1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根． 四、小结与作业 小结 1．用判别式判定一元二次方程根的情况：
(1)Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

(2)Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；

(3)Δ<0时，一元二次方程无实数根． 2．运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.2”中选取． 本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力． *22.2.5　一元二次方程的根与系数的关系 1．引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系及其关系的运用． 2．通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察、判断到发现关系的过程． 重点 一元二次方程根与系数之间的关系的运用． 难点 一元二次方程根与系数之间的关系的运用． 一、情境引入 教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题． 1．完成下列表格 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10 问题　你发现了什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律：(两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项)． ②设方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律． (x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.) 2．完成下列表格 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 2x2－3x－2＝0 2 － －1 3x2－4x＋1＝0 1 问题　上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：
①用语言叙述发现的规律：(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．) ②设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律． (x1＋x2＝－，x1·x2＝.) 二、探究新知 教师多媒体展示，提出问题，引导学生根据求根公式推出根与系数之间的关系． 通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明． ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝____， x2＝，x1＋x2＝－，x1·x2＝． 教师课件展示问题，学生可自主完成，小组内交流，教师点评． 例1　不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)x2－6x－15＝0；

(2)3x2＋7x－9＝0；

(3)5x－1＝4x2. 解：(1)x1＋x2＝6，x1·x2＝－15；

(2)x1＋x2＝－，x1·x2＝－3；

(3)x1＋x2＝，x1·x2＝. 例2　已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一个根及k的值． 解：另一个根为，k＝3. 三、练习巩固 可由学生自主完成抢答，教师点评． 1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
(1)x2－3x＝15；

(2)5x2－1＝4x2；

(3)x2－3x＋2＝10；

(4)4x2－144＝0；

(5)3x(x－1)＝2(x－1)；

(6)(2x－1)2＝(3－x)2. 2．两根均为负数的一元二次方程是(　　) A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0 C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0 四、小结与作业 小结 1．一元二次方程的根与系数的关系． 2．一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.2”中选取． 本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力． 22．3　实践与探索 使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程． 重点 列一元二次方程解决实际问题． 难点 寻找实际问题中的等量关系． 一、情境引入 问题1　学校生物小组有一块长32 m，宽20 m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540 m2，小道的宽应是多少？ 问题2　某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 二、探究新知 教师引导学生分析解决问题，并让学生一题多解，同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义． 问题1　【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540 m2来列方程，设小道的宽为x m，如何来表示种植面积？ 方法一：如图，由题意得 32×20－32x－20x＋x2＝540. 方法二：如图，采用平移的方法更简便． 由题意可得 (20－x)(32－x)＝540， 解得x1＝50，x2＝2， 由题意可得x<20，∴x＝2. 问题2　【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得 56(1－x)2＝31.5， 解得x1＝0.25，x2＝1.75(舍去)． 三、练习巩固 1．青山村种的水稻前年平均每公顷产量为7200 kg，今年平均每公顷产量为8450 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率． 2．用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2. (1)求此长方形的宽；

(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？如能，说明围法；

(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少？ 四、小结与作业 小结 1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义． 2．用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程． 3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有a(1±x)n＝b(常见n＝2)． 布置作业 从教材相应练习和“习题22.3”中选取． 本课时从创设情境入手，让学生体会数学建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参与合作的意识． 第23章　图形的相似 23．1　成比例线段 23．1.1　成比例线段 1．了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例． 2．会利用比例的性质，求出未知线段的长． 重点 成比例线段的定义；
比例的基本性质及直接运用． 难点 比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质． 一、情境引入 教师多媒体展示两幅相似的图片，提问：
1．这两个图形有什么联系？ 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形． 2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例． 二、探究新知 (1)回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两条线段的大小． 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成＝，其中，线段AB，CD分别叫做这两个线段比的前项和后项． 如果把表示成比值k，则＝k或AB＝k·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位． (2)做一做 量出数学书的长和宽(精确到0.1 cm)，并求出长和宽的比． 改用m作单位，则长为0.211 m，宽为0.148 m，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148. 只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变． (3)求两条线段的比时要注意的问题． ①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？(学生讨论) (答：线段的长度比与所采用的长度单位无关．) 2．成比例线段的定义 四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质 两条线段的比实际上就是两个数的比，如果a，b，c，d四个数满足＝，那么ad＝bc吗？反过来，如果说ad＝bc，那么＝吗？与同伴交流． 如果＝，那么ad＝bc. 若ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝. 教师多媒体展示例1，例2，教师引导，学生自主完成，小组内交流，教师点评． 例1　在某市城区地图(比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm，10 cm. (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：(1)1440米，900米；
　　(2)8∶5，8∶5. 例2　如图，已知＝＝3，求和. 解：＝4，＝4. 三、练习巩固 教师展示课件，可由学生自主完成，点名展示，教师点评． 1．已知＝＝3，求和及＝成立吗？ 2．已知＝＝＝2(b＋d＋f≠0)，求：
(1)；
(2)；

(3)；
(4). 【答案】1.＝2，＝2.＝成立． 2．(1)2；
　(2)2；
　(3)2；
　(4)2. 四、小结与作业 小结 1．注意点：(1)两线段的比值总是正数；
(2)讨论线段的比时，不指明长度单位；
(3)对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示． 2．比例尺：图上长度与实际长度的比． 3．熟记成比例线段的定义． 4．掌握比例的基本性质，并能灵活运用． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.1”中选取． 本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念，并引导学生探究比例的基本性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识． 23．1.2　平行线分线段成比例 了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容．能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关的计算． 重点 定理的应用． 难点 定理的推导证明． 一、情境引入 问题1　翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A，B，C三点，得到两条线段AB，BC，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？ 相等即AB＝BC.(由学生回答) 思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，你发现DE与EF的长度存在什么关系？ (1) 由此，我们可以得到＝. 问题2　选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画直线m，n与它们相交，如果m，n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD，DB，FE，EC这四条线段的长度有什么关系，如果m，n这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算一算，看看它们是否存在类似关系． (2)　　　　　　　　　　(3) 归纳：＝. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(简称“平行线分线段成比例”) 二、探究新知 教师结合问题1，2，引导学生深入分析，归纳定理． 思考：(1)如图，当图(3)中的点A与点F重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD，DB，AE，EC这四条线段之间会有怎样的关系？ (2)如图，当图(3)中的直线m，n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？ 归纳：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 教师多媒体展示例1，例2，引导学生分析，学生自主完成，教师点评． 例1　如图，l1∥l2∥l3. (1)已知AB＝3，DE＝2，EF＝4，求BC；

(2)已知AC＝8，DE＝2，EF＝3，求AB. 【分析】根据题目中的已知和所求线段，寻求有关的比例式，注意选择合理简捷的方法．如第(2)问，有以下两种解法：①若选＝，则AB＝x，BC＝8－x，可得＝；
②若选＝，则列出＝，得AB＝. 例2　如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝5，EC＝3，求AC的长． 解：∵DE∥BC， ∴＝， ∴＝， ∴AC＝. 三、练习巩固 教师展示课件，可由学生自主完成，抢答，教师点评． 1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(　　) A.＝　　　　B.＝ C.＝ D.＝ 第1题图
　　第2题图 2．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D. ＝ 四、小结与作业 小结 1．平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义． 2．研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.1”中选取． 本课时从学生所熟知的作业本入手，通过学生动手画图，测量、观察思考发现规律，归纳总结并加以应用，体会从特殊到一般的数学思维过程，进一步培养学生类比的数学思想． 23．2　相似图形 知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等，识别两个多边形是否相似的方法． 重点 相似图形的定义和性质． 难点 相似图形的性质． 一、情境引入 回顾 1．若线段a＝6 cm，b＝4 cm，c＝3.6 cm，d＝2.4 cm，那么线段a，b，c，d会成比例吗？ 2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例) 二、探究新知 教师多媒体展示问题，提出问题，引导学生分析． 相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流． 同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？ 同学们用格点图画相似的两个三角形，观察、度量，它们是否也具有这种关系(对应边成比例，对应角相等)? 由此可以得到两个相似多边形的特征：
(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等． 实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似． 识别两个多边形是否相似的标准有：(数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)．(括号内要求同学填) 填一填：
(1)两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？ (2)所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？正方形呢？ 学生小组内交流，代表发言，教师点评．教师课件展示例1，例2，学生可自主完成，小组内交流，点名展示，教师点评． 例1　矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5 cm，BC＝4.5 cm，A′B′＝0.8 cm，B′C′＝2.4 cm，这两个矩形相似吗？为什么？ 解：相似，∵＝＝＝＝. 例2　如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值． 解：由相似图形的性质知 ∠A＝∠A′＝107°，＝， ∴x＝. 三、练习巩固 教师多媒体展示，学生独立完成，点名展示，并讲解，师生共同点评． 1．在矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16 cm，AD＝10 cm，A′D′＝6 cm，矩形A′B′C′D′的面积为54 cm2，这两个矩形相似吗？为什么？ 2．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角α. 四、小结与作业 小结 1．相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 2．相似多边形的判定． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.2”中选取． 本节课学生通过动手测量，探究相似图形的有关性质，经历观察、实验归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观． 23．3　相似三角形 23．3.1　相似三角形 1．知道相似三角形的概念． 2．能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角． 3．会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长． 4．掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似． 重点 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似． 难点 熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数． 一、情境引入 复习：什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？ 二、探究新知 教师展示多媒体，从复习引入，引导学生进行探究． 1．相似三角形的有关概念 由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似． 三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似？ 如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝B′，∠C＝C′，＝＝，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”． 由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A与点A′是对应顶点，点B与点B′是对应顶点，点C与点C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比，相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指＝k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？同学们想一想． 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比k＝1，你会发现什么呢？＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例．试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？ 教师利用多媒体展示问题，引导学生探究问题，学生归纳总结，教师点评． 2．在△ABC中，点D是AB上任意一点，过点D作DE∥BC，交AC边于点E，那么△ADE与△ABC是否相似？ 教师引导分析：
判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑．能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得＝，通过度量发现＝，所以可以判断出△ADE与△ABC相似． 思考　(1)你能否通过演绎推理证明你的猜想？ (2)若是DE∥BC，DE与BA，CA的延长线交于点E，D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式． 学生归纳总结：
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似． 教师再展示例题，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评． 例1　如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5，求BC的长． 解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴BC＝3DE＝15. 三、练习巩固 第1题可由学生自主完成，第2题教师适当点拨，小组讨论后完成，上台展示，教师点评． 1．如图，DE∥BC. (1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；

(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长． 2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G. (1)求证：＝；

(2)若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长． 四、小结与作业 小结 你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？ 布置作业 从教材相应练习和“习题23.3”中选取． 本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解． 23．3.2　相似三角形的判定 第1课时　相似三角形的判定(1) 会判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似．会用这种方法判断两个三角形是否相似． 重点 相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算． 难点 相似三角形的判定定理1的运用． 一、情境引入 教师展示课件，提出问题． 1．两个矩形一定会相似吗？为什么？ 2．如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例． 3．如图，△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法． 二、探究新知 同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样，这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索． (1)45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的；

(2)30°的三角尺，另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？ 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”，是这样吗？请同学们动手试一试：
1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等． 画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？ 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的． 2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果． 3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似． 4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？ 这是由于三角形具有它特殊的性质，三角形有稳定性，而四边形有不稳定性． 于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似． 同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？ 教师再展示课件，展示例1，例2，教师引导学生分析，学生完成． 例1　在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗？ 解：由三角形的内角和定理知 ∠C′＝180°－∠A′－∠B′＝180°－50°－60°＝70°， ∴∠C′＝∠B， 又∵∠A＝∠A′， ∴△ABC∽△A′C′B′. 例2　如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC. 证明：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C. 又∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A. ∴△ADE∽△EFC. 三、练习巩固 教师用多媒体展示习题，第1题由学生自主完成，第2题教师可适当点拨，注意分类讨论． 1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，找出图中所有的相似三角形． 第1题图
　　第2题图 2．在△ABC中，点D是AB边上的一点，过点D作一直线与AC相交于点E，要使△ADE与△ABC相似，你怎样画这条直线？说明理由，和你的同伴交流作法是否一样． 【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC. 2．有两种不同的画法：
①过点D作DE∥BC，DE交AC于点E：
②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE＝∠C，另一边DE交AC于点E. 四、小结与作业 小结 这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑，说说看． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.3”中选取． 本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力． 第2课时　相似三角形的判定(2) 1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似． 3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似． 重点 相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用． 难点 相似三角形的判定定理的推导及应用． 一、情境引入 复习 1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？ 有两种方法：(1)根据定义；
(2)有两个角对应相等的两个三角形相似． 2．如图，在△ABC中，点D，E是AB，AC上的三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？ 由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？ 【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的． 二、探究新知 同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即是＝，＝，因此＝.△ADE的两条边AD，AE与△ABC的两条边AB，AC对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图23.3.10，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？ 图中的两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC相似，此时 ＝. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并有夹角相等，那么这两个三角形相似． 你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？ 教师在此引导学生证明上述猜想，并在小组内交流，让学生归纳总结出判定定定理2. 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似，你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？ (画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，＝. 教师再展示课件，由学生自主完成． 例1　如图，在△ABC中，点D，E是AB，AC上的点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：∵AC＝AE＋CE， 而AC＝6，CE＝2.1， ∴AE＝6－2.1＝3.9， ∵≠，∴△ADE与△ABC不相似． 你同意小张同学的判断吗？请你说说理由． 解：小张同学的判断是错误的． ∵＝，＝＝，∴＝， 而∠A是公共角，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. 请同学们再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？ 看课本69页“做一做”． 通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似． 教师可根据上述结论，再展示例2，可由学生自主完成，教师点评． 例2　在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm，试判定它们是否相似，并说明理由． 解：∵＝＝＝， ∴△ABC∽△A′B′C′. 三、练习巩固 教师展示课件，引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评． 1．如图，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由． 第1题图
　　第2题图 2．如图，已知＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的大小． 【答案】1.解：△ADE与△ABC相似． 理由：∵＝＝， ＝＝， ∴＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. 2．解：∵＝＝， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， 又∠DAC是公共角， ∴∠CAE＝∠BAD＝20°. 四、小结与作业 小结 1．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 2．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 3．根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.3”中选取． 本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2，3的认识，加深对判定定理的理解． 教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力． 23．3.3　相似三角形的性质 会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 重点 1．相似三角形中的对应线段比值的推导． 2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导． 3．运用相似三角形的性质解决实际问题． 难点 相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用． 一、情境引入 复习：
1．判定两个三角形相似的简便方法有哪些？ 2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝10 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，A′B′＝5 cm，A′C′＝3 cm，B′C′＝4 cm，这两个三角形相似吗？说明理由．如果相似，它们的相似比是多少？ 二、探究新知 教师结合上述第2题，引导学生探究：
上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝2. 相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之处，还会得出什么结果呢？ 一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系． 同学们画出上述的两个三角形，作对应边BC和B′C′边上的高，用刻度尺量一量AD与A′D′的长，等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．我们能否用推理的方法来说明这个结论呢？ △ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B＝∠B′. ∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝＝k. 接下来，教师再提出问题让学生归纳，并引导学生通过演绎推理来证明． 思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ ＝＝·＝k2 归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方． 同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；
相似三角形对应角平分线的比等于相似比；
相似三角形的周长之比等于相似比． 教师展示例1，引导学生分析，学生独立完成，小组内交流． 例1　如图，梯形ABCD的对角线交于点O，＝，已知S△DOC＝4，求S△AOB，S△AOD. 三、练习巩固 教师展示课件，可由学生自由完成，教师点名上台展示，教师点评． 1．如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(图形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面为1 m，若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为________． 【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键． 2．如图，在△ABC中，BC＝24 cm，高AD＝12 cm，矩形EFGH的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点G，H分别在AC，AB上，且EF∶EH＝4∶3，求EF，EH的长． 四、小结与作业 小结 1．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 2．相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.3”中选取． 本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手，提出问题继续探究相似三角形的有关性质，通过动手测量，猜想出结论，并加以证明，加深对知识的理解，提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思问题的习惯，形成理性思维． 23．3.4　相似三角形的应用 会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度．自己设计方案测量高度，体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用． 重点 构建相似三角形解决实际问题． 难点 把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决． 一、情境引入 复习 1．相似三角形有哪些性质？ 2．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF. (1)△DEF与△ABC相似吗？为什么？ (2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？ [(1)△DEF∽△ABC.(2)AB＝5.] 二、探究新知 教师结合多媒体展示，引导学生分析． 第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长．人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度． 教师课件展示例1，可由学生小组讨论交流，代表发言，教师点评． 例1　古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB. 【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度． 解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA， ∴∠OAB＝∠O′A′B′. 又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°， ∴△OAB∽△O′A′B′. ∴＝， ∴OB＝＝137(米)． 答：金字塔的高度OB为137米． 教师多媒体展示例2，3，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评． 例2　如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB. 解：∵∠ADB＝∠EDC， ∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴＝， 解得AB＝＝＝100(米)． 答：两岸间的大致距离AB为100米． 这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法． 例3　如图，已知点D，E是△ABC的边AB，AC上的点，且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC. 【分析】把等积式化为比例式＝，猜想△ADE与△ABC相似，从而找条件加以证明． 证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴＝， ∴AD·AB＝AE·AC. 三、练习巩固 1．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10 m，在这岸离开岸边16 m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？ 【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD，再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长． 2．亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？ 【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形． 四、小结与作业 小结 这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？ 布置作业 从教材相应练习和“习题23.3”中选取． 本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题(相似)来解决，进一步提高学生应用数学知识的能力． 23.4　中位线 1．经历三角形中位线的性质定理形成过程． 2．掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题． 3．通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力． 重点 三角形中位线的性质定理． 难点 三角形中位线的性质定理的应用． 一、情境引入 在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题：如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点，现在换一个角度考虑，如果点D，E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？ 二、探究新知 教师从课件展示的图片中引导学生进行猜想，证明，归纳得出三角形中位线的性质定理． 1．猜想：从画出的图形看，可以猜想：
DE∥BC，且DE＝BC. 2．证明：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB与AC的中点， ∴＝＝， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)， ∴∠ADE＝∠ABC，＝(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)， ∴DE∥BC，且DE＝BC. 思考：本题还有其他的解法吗？ 已知：如图，在△ABC中， AD＝DB，AE＝EC.求证：DE∥BC，DE＝BC. 【分析】要证DE∥BC，DE＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形． 还可以作如下的辅助线． 【归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 教师展示多媒体例1，例2，可由学生自主完成，教师可略作指导，分析． 例1　求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC. 求证：AE，DF互相平分． 【分析】要证AE，DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形． 证明：连结DE、EF. ∵AD＝DB，BE＝EC， ∴DE∥AC， 同理可得EF∥BA. ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴AE，DF互相平分． 例2　如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝. 【分析】有两边中点易想到连结两边中点构造三角形的中位线． 证明：连结ED. ∵点D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，＝， ∴△ACG∽△DEG， ∴＝＝＝， ∴＝＝. 思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得＝，即两图中的G与G′是重合的，由此我们可以得出什么结论？ 归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. 三、练习巩固 教师课件展示练习题1，2，可由学生自主完成，小组内交流，再由教师点名上台展示，教师点评． 1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为点M，CE和DF的交点为点N.求证：MN∥AD，MN＝AD. 　第1题图
　　　　第2题图 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，CD的中点，且AC＝BD，求证：OM＝ON. 【答案】1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM＝AM，FN＝DN， ∴MN∥AD，MN＝AD. 2．解：取BC的中点G，连结EG，FG， ∵BG＝CG，BE＝AE， ∴GE＝AC，EG∥AC， ∴∠ONM＝∠GFE， 同理GF＝BD，FG∥BD， ∴∠OMN＝∠GEF， ∵AC＝BD， ∴GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE， ∴∠ONM＝∠OMN， ∴OM＝ON. 四、小结与作业 小结 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2．三角形中位线定理的应用． 3．三角形重心的性质． 布置作业 从教材相应练习和“习题23.4”中选取． 本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解．在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力． 23.5　位似图形 1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小． 2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似图形． 重点 位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小． 难点 比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律． 一、情境引入 相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个基本变换．要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变．就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始． 现在要把五边形ABCDE放大到1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5. 现在我们来动手做一做，同学们按以下步骤画出所需的多边形：
画法是：
1．任取一点O. 2．以O为端点作射线OA，OB，OC，OD，OE. 3．在射线OA，OB，OC，OD，OE上分别取点A′，B′，C′，D′，E′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝OE′∶OE＝1.5. 4．连结A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，A′E′，即得到所要画的多边形． 二、探究新知 教师结合课件引导学生动手操作，分析，得出位似变换定义及相关概念． 思考：用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？ 上面的两个多边形相似．(学生回答) 你能否用演绎推理说明其中的理由？ ＝＝＝＝＝1.5. 再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢？也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE. 位似变换的定义：如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心．放映电影时，胶片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的凸透镜的光心． 利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小． 位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法． 三、练习巩固 教师课件展示练习题1，2，3，分小组讨论，小组抢答展示，教师点评． 1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？ 第1题图
　　第2题图 2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍． 【教学说明】第1小题可根据位似的三要素得出对应线段平行；
第2小题可有两种情况，画出其中一种即可． 3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上． ①画出位似中心点O；

②求出△ABC与△A1B1C1的相似比；

③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5. 四、小结与作业 小结 学生试述，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 布置作业 从教材相应练习和“习题23.5”中选取． 本课从学生动手画图入手，引入新课，提出问题，猜想，并加以证明，归纳位似的概念，探究位似图形的性质和画法，培养学生良好的数学学习习惯和严谨科学的学习态度． 23．6　图形与坐标 23．6.1　用坐标确定位置 能够在图形中建立适当的坐标系来描述物体的位置，并结合具体实例了解坐标系建立位置不同，点的坐标也随之变化；
能够利用坐标找到点的位置；
了解位置确定的两种方法． 重点 在图形中建立直角坐标系并描述物体在坐标系里的位置． 难点 建立恰当的坐标系来描述物体的位置． 一、情境引入 教师出示教材84页，关于某中学夏令营找目的地问题． 问：利用直角坐标系，你能找到目的地吗？请你在图中画出目的地的位置． 二、探究新知 通过以上活动，我们可以发现，建立适当的直角坐标系，我们可以用坐标来确定物体的位置，现在我们来试一试． 1．试一试 如图，是某乡镇的示意图，试在图中建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示各地的位置． 思考　①你是怎样建立直角坐标系的，各地的坐标是什么？ ②与同学交流一下，发现什么问题？ 【归纳结论】建立的直角坐标系不一样，得到各地的坐标也不一样． 我们已经知道，可以用一对有序实数对表示平面上点的位置，从而确定一个物体的位置．在我们的生活中还有什么地方应用了这一知识点(学生讨论后可自由发言)? 如：用经度和纬度来表示某次台风中心所处的位置，或表示某次强烈地震的震中位置等． 阅读教材85页“思考”． 思考　由此信息，你能发现其他表示该地震中心位置的方法吗？ 【归纳结论】可以用“角度(方向)、距离”这两个量来刻画物体的位置． 2．方位角的研究 ①教师出示问题：教材86页“小明考察环境污染问题”． ②让学生试着画出表示各处位置的示意图． ③根据情况教师适当点评． ④说一说：在我们现实生活中还有哪些地方用到了方位角的知识． 教师课件展示例1，可让学生自主完成，互相交流展示，教师点评． 例1　如图是一个边长为5的正方形，试建立适当的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标． 【分析】建立的直角坐标系不同，顶点的坐标也不相同． 三、练习巩固 教师多媒体展示练习1，2，引导学生思考，练习1抢答，练习2教师点名上台展示，教师点评． 1．如图，在矩形ABCD中，A(－4，1)，B(0，1)，C(0，3)，则点D的坐标为________． 　第1题图
　　　　　第2题图 2．九年级(2)班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是(200，－200)，王励说他的坐标是(－200，－100)，李华说他的坐标是(－300，200)． (1)请你据此写出坐标原点的位置；

(2)请你写出这三个同学所在的景点． 四、小结与作业 小结 本节课你学习到了哪些知识？在现实生活中有什么作用？ 布置作业 从教材相应练习和“习题23.6”中选取． 本课时从生活实例入手，引导学生通过动手操作、观察、实验来体会利用有序实数对确定位置的方法，发展学生形象思维能力和数学应用能力，通过小组合作交流，培养学生的口头表达能力和合作意识． 23．6.2　图形的交换与坐标 在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换之后，点的坐标相应发生变化．探索图形平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换中，它们点的坐标变化规律． 重点 图形运动与坐标变换的关系． 难点 图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律． 一、情境引入 思考　在同一个平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？ 二、探究新知 教师展示课件，引导学生探究各种情况的坐标变化规律，并总结出结论． 现在我们带着问题来一起探究． 1．平移变换的点的坐标变化规律 例1　如图，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′，三个顶点的坐标有什么变化？ 【归纳结论】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3. 例2　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为(－3，4)，(－4，3)和(－1，3)，将△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A′B′C′，然后再将△A′B′C′沿x轴向右平移4个单位得到△A″B″C″，试写出现在三个顶点的坐标，看看发生了什么变化． 【归纳结论】经过两次平移后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵坐标都减少了3. 【思考】通过以上例1、例2的探究你发现经过平移变换，点的坐标变化有什么特点？ 【归纳结论】(1)左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化，向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位，向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位． (2)上、下平移，它们的横坐标都不变，纵坐标有变化，向上平移几个单位，纵坐标就增加几个单位，向下平移几个单位，纵坐标就减少几个单位． 2．轴对称变换的点的坐标变化规律 例3　如图，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB，关于y轴的轴对称图形是△A″OB″，它们对应顶点的坐标有什么变化？ 【归纳结论】(1)关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 3．位似变换的点的坐标变化规律 例4　如图，将△AOB缩小后得到△COD. (1)它们的相似比是多少？ (2)△AOB的顶点坐标发生了什么变化？ 【归纳结论】横纵坐标都变为原来的. 思考　将例4中的△AOB以点O为位似中心，将△AOB放大到原来的2倍得到△A′OB′. (1)△A′OB′可以画几个？ (2)△AOB的顶点坐标发生了什么变化？ 4．概括：填充完成教材92页的表格． 三、练习巩固 教师展示课件，列出练习，可由学生自主完成，教师适当点拨，学生分组讨论． 如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到Rt△O′A′B′. (1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；

(2)设P(x，y)为△AOB边上任意一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标． 四、小结与作业 小结 这节课你学习到哪些知识？有哪些收获，还有哪些疑问？ 布置作业 从教材相应练习和“习题23.6”中选取． 本节课采用集体讨论和活动探究的数学方法，“以教师为主导，学生为主体”，教师的“导”立足于学生的学，以学为重心，放手让学生自主探索、归纳结论，体验学习的快乐，从而激发学生的学习兴趣． 第24章　解直角三角形 24．1　测量 利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系． 重点 探索测量距离的几种方法． 难点 解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握． 一、情境引入 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高． 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 二、探究新知 教师利用多媒体展示教材100页“试一试”，引导学生分析学习本节内容． 如图，站在离旗杆BE底部10 m处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1.5 m，现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？ 分析：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等． 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴AC∶A′C′＝BC∶B′C′＝500∶1. ∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B′C′＝a cm，则BC＝500a cm＝5a m．故旗杆高(1.5＋5a)m. 教师再用课件展示例题，可由学生自主完成，最后教师点评． 例2　为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO＝6 m，OD＝3.4 m，CD＝1.7 m；
图(b)中CD＝1 m，FD＝0.6 m，EB＝1.8 m；
图(c)中BD＝9 m，EF＝0.2 m，此人的臂长为0.6 m. (1)说明其中运用的主要知识；

(2)分别计算出旗杆的高度． (a) 　(b) 　(c) 【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质． 解：(1)∵△AOB∽△COD， ∴＝，即＝， ∴AB＝3(m)． (2)∵同一时刻物高与影长成正比， ∴＝，即＝， ∴AB＝3(m)． (3)∵△CEF∽△CAB，△CFG∽△CBD， ∴＝＝， ∴＝， ∴AB＝3(m)． 教师点评：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似图形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度． 三、练习巩固 教师利用课件展示习题，引导学生独立完成，点名上台展示，教师点评． 1．已知小明同学身高1.5 m，经太阳光照射，在地面的影长为2 m，若此时测得一塔在同一地面的影长为60 m，则塔高为(　　) A．90 m　　　B．80 m　　　C．45 m　　　D．40 m 2．如图，A，B两点被池塘隔开，在点A，B外任选一点C，连结AC，BC，分别取其三等分点M，N，量得MN＝38 m，则AB的长为(　　) A．76 m B．104 m C．114 m D．152 m 3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 4．某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹竿竖起时的影长为1.5 m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9 m，留在墙上的影长为2 m，求旗杆的高度． 四、小结与作业 小结 这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？ 布置作业 从教材相应练习和“习题24.1”中选取． 本课时从学生身边所熟悉的测量旗杆的高度入手，通过探究设计各种测量方案，让学生学会利用所学的相似三角形、勾股定理的有关知识来解决问题，经历测量过程从而获得成功的体验，懂得数学来源于生活实际并用之于实际的道理，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力． 24．2　直角三角形的性质 1．掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用． 2．继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系．知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律． 重点 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用． 难点 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法． 一、情境引入 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：(1)在直角三角形中，两个锐角互余；

(2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)． 二、探究新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1．实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片． (1)量一量边AB的长度；

(2)找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；

(3)量一量斜边上的中线的长度． 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系． 2．提出命题：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 3．证明命题：
你能否用演绎推理证明这一猜想？ 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线． 求证：CD＝AB. 【分析】可“倍长中线”，延长CD至点E，使DE＝CD，易证四边形ACBE是矩形， ∴CE＝AB＝2CD. 思考　还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线． 4．应用：
例　如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°. 求证：BC＝AB. 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD，易证△BDC为等边三角形，所以BC＝BD＝AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习题，可由学生小组讨论完成，教师归纳． 1．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD＝4，则AB＝________． 2．三角形三个角度数比为1∶2∶3，它的最大边长是4 cm，那么它的最小边长为________cm. 3．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，点G为垂足． 求证：(1)点G是CE的中点；

(2)∠B＝2∠BCE. 第3题图
第4题图 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长． 四、小结与作业 小结 1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 3．有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线． 布置作业 从教材相应练习和“习题24.2”中选取． 本课从复习已学过的直角三角形的性质入手，通过实验操作、猜想、证明、探究直角三角形斜边上的中线性质定理，培养学生识图的能力，提高分析和解决问题的能力，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识和综合意识． 24．3　锐角三角函数 24．3.1　锐角三角形函数 第1课时　锐角三角函数 1．使学生掌握锐角的三种三角函数的定义． 2．使学生掌握锐角三角函数的取值范围． 重点 三角函数的定义及三角函数值的求法． 难点 引入参数三角函数值． 一、情境引入 教师展示课件，提出问题，引导学生进入本节学习内容． 1．含30°角的直角三角形，有什么性质？ 答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为. 2．上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？ 答：无关． 3．含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？ 这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？ 答：，无关． 4．一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？ 答：固定不变，如下图． 在Rt△AB1C1，Rt△AB2C2， Rt△AB3C3中，∠A的对边和斜边的比值分别为，，. ∵B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3， ∴＝＝＝是一个固定值． 我们把这个固定的比值，称为∠A的正弦，记作sinA，当∠A看作变量时，sinA常称为∠A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数． 二、探究新知 (一)锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. ∠A的正弦：sinA＝＝＝， ∠A的余弦：cosA＝＝＝， ∠A的正切：tanA＝＝＝. 【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略． 提问：你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗？ (二)锐角三角函数的取值范围 在Rt△ABC中，∠A为其一锐角，有0<a<c，0<b<c，∴0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0. (三)利用锐角三角函数定义求三角函数值 1．直接利用定义求三角函数值 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，试求出∠A的三个三角函数值． 解：AB＝＝＝17， sinA＝＝， cosA＝＝， tanA＝＝. 2．已知直角三角形的两边的比，求三角函数值． 例2　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝2∶3，求sinA，cosA. 解：设a＝2k，b＝3k， 由勾股定理得c＝＝k， ∴sinA＝＝＝， cosA＝＝＝. 3．已知某锐角三角函数值，求三角函数值． 例3　在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠A的另外两个三角函数值． 解：∵sinA＝＝， ∴设a＝2k，c＝3k， 由勾股定理得b＝＝k， ∴cosA＝＝＝， tanA＝＝＝. 三、练习巩固 教师利用课件展示练习题，可由学生独立完成练习1，2，3，由学生抢答．第4题教师适当点拨：过点A作AD⊥BC构造直角三角形．学生小组内交流，教师点评． 1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2，4)，O为原点，OP与x轴的夹角为α，则sinα＝________． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，则cosA＝______． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝______，cosA＝________． 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，求tanC的值． 四、小结与作业 小结 1．锐角三角函数的定义：
∠α的正弦：sinα＝， ∠α的余弦：cosα＝， ∠α的正切：tanα＝. 2．锐角三角函数的取值范围：
当∠α为锐角时，0<sinα<1；
0<cosα<1；
tanα>0. 3．利用定义求锐角三角函数值． 布置作业 从教材相应练习和“习题24.3”中选取． 本课时遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展． 第2课时　特殊角的三角函数值 1．熟记30°，45°，60°角的三角函数值． 2．让学生经历30°，45°，60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法． 重点 熟记30°，45°，60°角的三角函数值． 难点 根据函数值说出对应的锐角度数． 一、情境引入 教师利用课件展示例题，复习上节内容． 上节课我们学习了锐角三角函数的定义． 复习　如图，在Rt△DEC中，∠E＝90°，DE＝6，CD＝10，求∠D的三个三角函数值．(sinD＝，cosD＝，tanD＝) 二、探究新知 你能否根据锐角三角函数的定义求出30°角的三个三角函数值？ 1．探究 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. 思考：(1)BC＝____AB；

(2)由勾股定理可得 AC2＝__AB2__－__BC2__， AC＝＝____AB， sin30°＝＝＝， cos30°＝＝＝， tan30°＝＝＝. 问：如何求60°角的三角函数值？ sin60°＝＝____，cos60°＝＝____， tan60°＝＝____． 2．做一做 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，根据锐角三角函数的定义求出∠A的三角函数值． 思考：(1)AC＝BC；

(2)由勾股定理可知 AB＝＝____AC. 归纳：sin45°＝____，cos45°＝____， tan45°＝__1__． 3．填表 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 思考：(1)sinα随着α的增大而__增大__；

(2)cosα随着α的增大而__减小__；

(3)tanα随着α的增大而__增大__． 例　求值：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°. 解：原式＝×＋×＝. 三、练习巩固 教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，教师点名展示，教师点评：第1题的计算，注意理清运算顺序；
第2题可构造直角三角形，再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；
第3题可先求出α的三角函数值，再根据其值求角的度数． 1．计算：
(1)|3－|＋()0＋cos230°－4sin60°；

(2)(2cos45°－sin60°)＋；

(3)(sin30°)－1－20200＋|－4|－tan60°. 2．直线y＝kx－4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为________． 3．求下列锐角α的大小：
(1)4cos2α－3sin45°＝0；

(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0. 4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长．(结果保留根号) 四、小结与作业 小结 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？ 布置作业 从教材相应练习和“习题24.3”中选取． 本节从复习锐角三角函数的定义入手，提出求解30°角的三角函数值，让学生动手探究45°，60°角的三角函数值，加以归纳总结，并学会应用．在教学上充分体现以学生为主体的思想，在教学中以调动学生的思维为主，充分培养学生的自主性和创造性． 24．3.2　用计算器求锐角三角函数的值 经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值，及由已知的三角函数值求锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，学会应用方法． 重点 用计算器求任意角的三角函数值． 难点 用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序． 一、情境引入 同学们，前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值，但一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务． 二、探究新知 拿出计算器，熟悉计算器的用法． 下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角． 1．求已知锐角的三角函数值． 例1　求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001) 解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(SETUP)，显示. 再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012. 所以sin63°52′41″≈0.8979. 注意：SETUP是键的第二功能，启用第二功能，需先按键． 例2　求tan19°15′的值．(精确到0.0001) 解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示)，按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349215633. 所以tan19°15′≈0.3492. 2．由锐角三角函数值求锐角． 例3　已知tanx＝0.7410，求锐角x.(精确到1′) 解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示)，按下列顺序依次按键：
(tan－1)，显示结果为36.53844577. 再按键，显示结果为36°32′18.4″. 所以x≈36°32′. 三、练习巩固 教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，小组内交流． 1．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系为____________________． 2．已知tanA＝0.3249，则∠A约为________． 3．升国旗时，某同学站在离国旗20 m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为42°，若双眼离地面1.6 m，求旗杆AB的高度．(精确到0.01 m) 第3题图
　　第4题图 4．如图，一名患者体内器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求∠CBA的度数． 四、小结与作业 小结 1．本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数． 2．本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面． 3．求锐角的三角函数值时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；
或先输入数字后，再按三角函数键．因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序． 布置作业 从教材相应练习和“习题24.3”中选取． 本课时让学生经历用计算器进行三角函数值计算的过程，体会三角函数的意义，培养学生应用现代化学习工具的能力，激发学生的学习兴趣． 24．4　解直角三角形 第1课时　解直角三角形 1．使学生理解解直角三角形的意义． 2．能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形． 重点 用直角三角形的三个关系式解直角三角形． 难点 用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题． 一、情境引入 前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎么样． 例　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，求∠A的各个三角函数值． 二、探究新知 教师利用课件引入例1，引导学生分析，使学生在讨论过程中理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究． 把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了． 例1　如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下，树顶落在离树根12 m处，则大树在折断之前高多少？ 例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？ 学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程． 通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？ 学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？ 学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余． 【探索新知】 问：上面的例子是给了两条边．那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？ 例2　如图，东西两炮台A，B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米) 解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°， ＝tan∠CAB， ∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米)． ∵＝cos50°， ∴AC＝＝≈3111(米)． 答：敌舰与A，B两炮台的距离分别约为3111米和2384米． 问：AC还可以用哪种方法求？ 学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确． 问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(几个学生展示) 学生讨论分析，得出结论． 问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？ 学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：
(1)已知两条边；

(2)已知一条边和一个锐角． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，教师点名上台展示，再点评． 1．在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？ 2．海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离．(画出图形后计算，精确到0.1海里) 四、小结与作业 小结 1．“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素． 2．解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两条边或已知一条边和一个锐角． 3．解直角三角形的方法． 布置作业 从教材相应练习和“习题24.4”中选取． 通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况．通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题．给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力． 第2课时　俯角和仰角的问题 1．理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力． 重点 理解仰角和俯角的概念． 难点 能解与直角三角形有关的实际问题． 一、情境引入 教师展示课件，引出问题． 如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了．(精确到0.1米) 你知道小明是怎样算出的吗？ 二、探究新知 教师结合展示的引例，结合图片，引导学生观察，分析，归纳仰角、俯角的概念． 想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念． 现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的． 【分析】在Rt△CDE中，已知一个角和一条边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长． 解：在Rt△CDE中， ∵CE＝DE·tanα＝AB·tanα＝10×tan52°≈12.80， ∴BC＝BE＋CE＝DA＋CE≈1.50＋12.80＝14.3(米)． 答：旗杆的高度约为14.3米． 教师再展示例题，引导学生思考、分析，关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决． 例　如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m) 解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB＝∠β＝43°24′，∠ADE＝∠α＝35°12′，DE＝BC＝32.6. 在Rt△ABC中， ∵tan∠ACB＝， ∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan43°24′≈30.83(m)． 在Rt△ADE中， ∵tan∠ADE＝， ∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan35°12′≈23.00(m)．∴DC＝BE＝AB－AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)． 答：两个建筑物的高分别约为30.8 m，7.8 m. 三、练习巩固 教师利用多媒体展示练习题，可由学生自主完成，小组交流，代表上台展示，教师点评． 1．如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到点A时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43°，1 s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13 km，仰角为45.54°，这个火箭从点A到点B的平均速度是多少？(精确到0.01 km/s) 2．如图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；
如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°，求小华的眼睛到地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73) 四、小结与作业 小结 1．这节课你学到了什么？你有何体会？ 2．这节课你还存在什么问题？ 布置作业 从教材相应练习和“习题24.4”中选取． 本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题．在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，养成交流与合作的良好习惯．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心． 第3课时　坡度问题 1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念． 2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题． 重点 解决有关坡度的实际问题． 难点 解决有关坡角的实际问题． 一、情境引入 教师展示图片，引出问题． 读一读 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tanα. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡． 二、探究新知 教师利用课件展示例1，例2，结合前面所学知识，可由学生自主完成，小组讨论，教师适当给予分析，最后作出点评． 例1　如图，一段路基的横截面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米) 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E，F. 知DE＝CF＝4.2，EF＝CD＝12.51， 在Rt△ADE中， ∵＝＝tan32°， ∴AE＝≈6.72. 在Rt△BCF中，同理可得 BF＝≈7.90. ∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.1(米) 答：路基下底的宽约为27.1米． 例2　学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD. 解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°， 则易求得AC＝6，BC＝6. 在Rt△BDC中，i＝＝， 易得DC＝BC＝2， ∴AD＝AC－DC＝(6－2)米． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，其中第1，2，3，4题由学生抢答，第5题教师点名上台展示，再给予点评． 1．已知一坡面的坡度i＝1∶，则坡角α为(　　) A．15°　　　B．20°　　　C．30°　　　D．45° 2．彬彬沿坡度为1∶的坡面向上走50米，则他离地面的高度为(　　) A．25 米 B．50米 C．25米 D．50 米 3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶，则此处大坝的坡角和高分别是________米． 4．如图，一束光线照在坡度为1∶的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________． 5．如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度． 四、小结与作业 小结 1．本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题． 2．本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想． 布置作业 从教材相应练习和“习题24.4”中选取． 本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题．在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识． 第25章　随机事件的概率 25．1　在重复试验中观察不确定现象 1．理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 2．会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小． 重点 1．理解随机事件的特点，会判断现实生活中哪些事件是随机事件． 2．通过试验的方法来判断随机事件发生机会的大小． 难点 判断现实生活中哪些事件是随机事件． 一、情境引入 教师展示课件，列举例子，激发学生的兴趣，让学生体会数字源于生活，生活处处有数学． 1．播放一段天气预报，引出一句古话“天有不测风云”．从这句话引申出世界上有很多事情具有偶然性．人们不能事先判断这些事情是否会发生，但是随着对事件发生可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的，所以天气预报也只是对未来天气的预测，但并不是一定会如此． 随后教师提出问题，引起学生的注意和思考，让学生感知事件的发生有多种可能． 2．分析说明下列事件能否一定发生． (1)今天不上课；

(2)明天要下雨；

(3)煮熟的鸭子飞了；

(4)抛掷一枚硬币，正面向上． 二、探究新知 教师结合课件提出问题，请学生动手操作试验，感知事件发生的多种情况，经过操作试验思考问题，让学生分析阐述自己的观点，初步感知事件发生的情况类别． 探究1　掷一枚正方体骰子，请考虑以下问题：
(1)掷得的点数有几种可能的结果？ (2)掷得的点数会是1吗？ (3)掷得的点数小于7吗？ (4)掷得的点数会是0吗？ 1．从上述探究中可知，有些事件发生与否是可以事先确定的，有些事件发生与否是不能事先确定的． 【教学说明】教师引导学生归纳总结事件发生的三种情况，增强学生对事件发生可能性的认识． 【归纳结论】我们称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件，称那些在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件，无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件称为随机事件． 2．请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件． 【教学说明】学生结合定义列举，并能稍作阐述，教师讲评、归纳、鼓励． 3．做一做 准备三张大小一样的图片，把每张图片都对折，剪成大小一样的两张．将这六张小图片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小图片． 问题：(1)你认为抽出的两张小图片正好能成功拼成原图的机会大吗？ (2)猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？并通过试验验证你的猜想． 【教学说明】教师提出问题，引导学生试验，学生通过试验，观察结果，思考并得出结论，体会随机事件发生的可能性大小． 探究2　问题：随机事件是否发生，没人能够预测，这就叫“随机性”，但是在捉摸不透的背后，是否隐藏着某种规律？ 阅读教材128～129页图表． 思考：(1)通过以上图表，你发现有什么规律？发现当试验次数比较多的时候，“出现正面”的频率在0.5附近波动． (2)如果换成其他试验，是否也能发现类似的规律？ 试验：
与你的同伴合作，做一做抛掷两枚硬币的游戏，全班同学每人各掷20次，一位同学抛的时候，另一位同学协助记录试验结果，汇集其他同学的记录，完成教材表25.1.3和图25.1.2. 思考：通过试验你发现 1．在试验中，“出现两个正面”的频率稳定在________%附近，“出现一正一反”的频率稳定在________%附近． 2．如果将试验中的硬币换成瓶盖，你觉得频率也会逐渐稳定吗？如果是，那么稳定的数值会和(1)中的一致吗？ 用试验验证你的猜想． 【归纳结论】通过前面的试验，我们可以发现，虽然每次试验的结果是随机、无法预测的，但随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某一个数值附近，所以我们可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习，因为题目较为简单，可让学生自主完成，教师再选派几名学生作答． 1．下列事件中，属于必然事件的是(　　) A．男生的身高一定超过女生 B．方程4x2＝0有实数解 C．明天数学考试小明一定得满分 D．两个无理数相加一定是无理数 2．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？说说你的理由． (1)掷一枚骰子，6点朝上；

(2)367人中至少有2人出生日期相同；

(3)小明想用长度为10 cm，20 cm，30 cm的小木条，首尾相接，做一个三角形；

(4)小明买福利彩票，中500万奖金． 3．20张卡片分别写着1，2，3，…，20，从中任意抽取一张，号码是2的倍数的机会有多大？你能预测吗？请用重复试验的方法检验你的猜想． 四、小结与作业 小结 本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？ 你有哪些收获和体会，学生回顾，师生共同归纳总结． 布置作业 从教材相应练习和“习题25.1”中选取． 通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；
其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性．“掷骰子”、“拼图”、“掷硬币”等活动是学生容易理解或亲身经历的，操作简单省时，又具有很好的经验性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，激发学生的探知欲． 25．2　随机事件的概率 25．2.1　概率及其意义 通过试验，理解事件发生的可能性问题，感受理论概率的意义． 重点 运用分析的方法在较为简单的问题情境下预测概率． 难点 对概率的理解． 一、情境引入 教师活动：拿出一枚硬币抛掷，提问：结果有几种情况？ 学生活动：拿出一枚硬币抛掷，发现结果只有两种情况——“出现正面”和“出现反面”，而且发生的可能性均等，各占50%的机会． 教师引入：一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率． 学生联想：抛掷一枚硬币，“出现正面”的概率是，“出现反面”的概率是. 教师引导：可记作P(出现正面)＝，P(出现反面)＝. 二、探究新知 实践活动：引导学生在实验中寻找方法． 抛掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字为5”的概率为多少？ 学生回答：，可记作P(出现数字为5)＝. 上述例子可以经过分析很快地得出概率，但是实际中，许多问题是要通过进行重复试验、观察频率值的办法来解决的．请看下面一个例子，见课本P136表25.2.1. 学生活动：对表25.2.1中的问题进行试验． 思路点拨：(1)关注的是哪个或哪些结果；
(2)注意所有机会均等．(1)、(2)这两种结果个数的比就是所关注的结果发生的概率． 问题情境1：课本P137问题1 学生活动：分四人小组展开对“问题1”的试验，并从中得到规律：如果掷的次数很多，试验的频率渐趋稳定，平均每6次就有1次掷出“6”． 【教学说明】通过试验，让学生逐步计算一个随机事件发生的试验频率，并观察其中的规律性，从而归纳出试验概率趋于理论概率这一规律． 例1 见课本P139例1 思路点拨：本题是简单的古典概率，理论上很容易求出其概率．P(抽到男同学的名字)＝＝，P(抽到女同学的名字)＝＝<，得出结论为抽到男同学名字的概率大． 【教学说明】让学生感受到古典概率的内涵以及计算方式． 拓展延伸：课本P140“思考” 【教学说明】分小组进行讨论，然后再在全班进行发言． 例2　见课本P140例2 思路点拨：这是一个理论概率问题，袋中球的总数为8＋16＝24，由于红球有8只，因此，P(取出红球)＝＝，黑球有16只，P(取出黑球)＝＝.也可以这样计算黑球：P(取出黑球)＝1－P(取出红球)＝1－＝. 例3　见课本P140例3 思路点拨：这是一道通过比较取出黑球的概率大小进行判断的题目，首先要计算从甲、乙两只口袋中取出黑球的概率，P甲(取出黑球)＝＝，P乙(取出黑球)＝＝>，所以选乙袋成功机会大． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习，可由学生自主完成，第1，2，3题由学生抢答，第4题教师点名上台展示，再点评． 1．任意投掷均匀的骰子，4朝上的概率是________． 2．袋中装有6个红球和7个白球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中任意摸出红球的概率是________． 3．一副扑克牌(去掉大王和小王)，随机抽取一张，抽取红桃的概率是________． 4．如图，有一个被等分为8个扇形的转盘，转动转盘，指针落在白色区域的概率是(　　) A．1　　　　　　　B. C. D. 5．袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球：
(1)摸到红球的概率是多少？ (2)摸到白球的概率是多少？ (3)摸到黄球的概率是多少？ (4)哪一个概率最大？ 四、小结与作业 小结 1．什么叫概率？ 2．本节中的试验结果所产生的趋势与理论概率之间有什么关系？ 3．试验次数的大小与所得的“估计值”有什么关系？ 4．谈谈你对概率的理解和体会． 布置作业 从教材相应练习和“习题25.2”中选取． 通过抛掷硬币，用学生喜欢的掷骰子和扑克牌试验导入新课，吸引学生迅速进入状态，让学生充分认识概率的意义；
由学生自主探索，合作交流，运用分析的方法预测概率，使学生掌握本节课的知识，学生在解决问题的过程中，提高了思维能力，增强思维的缜密性，并且培养了学生解决问题的能力和信心． 25.2.2　频率与概率 1．了解运用列表法和树状图法理论分析随机事件的概率． 2．理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率． 重点 频率与概率的理解和应用． 难点 利用频率估计概率的理解． 一、情境引入 先前我们学习了用分析的方法求随机事件的概率，那么这里的问题情境中，很容易让学生想到这个事件的结果不能分析出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的，从而引发学生的求知：对这类事件的概率该怎样求解呢？引入课题． 问题：要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了，但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办？ 二、探究新知 问题1：怎样运用理论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？ 【分析】 列表法
硬币1 硬币2　 正 反 正 正正 反正 反 正反 反反
树状图法 思考：理论分析与重复试验得到的结果是否是一致的？ 问题2：见课本P142问题3 学生用自制的转盘做试验，并完成课本P143表25.2.4和图25.2.3. 拓展延伸：课本P143“思考” 【教学说明】让学生通过试验的方法来预测随机事件的概率． 问：你能用理论分析的方法来预测两个转盘指针停在蓝色区域的概率吗？ 归纳：P(小转盘指针停在蓝色区域)＝____， P(大转盘指针停在蓝色区域)＝____． 思考1：从重复试验结果中你得出了哪些结论？ 对以上这些问题，既可以通过分析用计算的方法预测概率，也可以通过重复试验用频率来估计概率． 思考2：是不是所有的问题都可以这样呢？ 问题3：将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率． 【分析】由于图钉的形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测P(钉尖朝上)与P(钉尖触地)的值，因此只能靠重复试验来帮忙． 【教学说明】让学生分成几个小组，每小组10人，每人试验50次，每个小组数据累加起来，并作好每个小组的试验记录． 归纳：通过试验发现，当试验进行到720次后，所得的频率值就在46%上下浮动，我们可以取46%作为这个事件发生概率的估计值，即P(钉尖触地)≈46%. 三、练习巩固 教师利用课件展示练习题，可由学生自主完成，分小组展示，教师点评． 1．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有________张． 2．一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为0.4，0.1，0.2，0.1，0.2.根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有________个黑球． 3．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；

(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________． (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 四、小结与作业 小结 1．你知道什么时候用频率来估计概率吗？ 2．你会用频率估计概率来解决实际问题吗？ 【教学说明】教师先提出上述问题，让学生相互交流，再选派几名同学进行回顾总结，师生再共同完善． 布置作业 从教材相应练习和“习题25.2”中选取． 1．猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破．当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的，这节课教师应把握教学难度，注意关注学生接受情况． 2．一般地，当试验的可能结果是有限个而且各种结果发生的可能性相等时，可以用P(A)＝的方式得出概率．当试验的所有可能的结果是无限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率． 25．2.3　列举所有机会均等的结果 理解并掌握列表法和树状图法求随机事件的概率，并利用它们解决问题，正确认识在什么条件下使用列表法，什么条件下使用树状图法． 重点 会用列表法和树状图法求随机事件的概率． 区分什么时候用列表法，什么时候用树状图法求概率． 难点 列表法是如何列表，树状图的画法． 列表法和树状图法的选取方法． 一、情境引入 教师展示课件，情境激趣，在最短时间内激起学生的求知欲和探索欲． 播放视频《田忌赛马》，提出问题，引入新课． 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢，已知田忌的马比齐王的马略逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；
田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；
田忌的下马不及齐王的下马．田忌屡败后，接受了孙膑的建议，结果两胜一负，赢了比赛． (1)你知道孙膑给的是怎样的建议吗？ (2)假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢的概率是多少呢？ 二、探究新知 1．树状图法求概率 课本149页例4 【分析】对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；
对于第2，3次抛掷来说也是这样，而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等，由此，我们可以画出树状图． 【教学说明】教师引导学生画树状图，使学生动手体会如何画树状图，指导学生规范地应用树状图法解决概率问题． 由例4总结得：树状图从上到下，列举了所有机会均等的结果，可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明． 思考：有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现四种结果：
(1)全是正面；
　(2)两正一反；

(3)两反一正；
　(4)全是反面． 因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？为什么？ 答：不同意．因为由树状图可知在8种等可能结果中，全是正面的只有1种，两正一反的有3种，两反一正的有3种，全是反面的只有1种． 应用：课本150页问题5 【分析】把两个白球分别记为白1和白2，画出树状图，从中可以看出，一共有9种等可能结果，在“摸出两红”、“摸出两白”、“摸出一红一白”这三个事件中，“摸出两红”的概率最小，为，“摸出两白”和“摸出一红一白”的概率相等，都是. 【教学说明】教师引导学生画出树状图，注意第一次摸出1个球，放回搅匀这一条件；
注意分析“放回”与“不放回”的区别． 2．列表法求概率 课本151页问题6 【分析】这一问题可用树状图法，但不如列表法的结果简明． 【教学说明】引导学生如何列表，指导学生体会列表法对列举所有可能的结果所起的作用，并比较它与树状图法的优劣． 应用：课本152页问题7 分析：如图，画出树状图：
试一试：
请用列表法分析问题7. 思考：两种方法结论是否一致？ 答：一致． 【教学说明】教师引导学生应用树状图法求概率，详细讲解树状图各点的操作方法，学生结合列表法，理解分析，体会树状图的用法，体验树状图的优势． 三、练习巩固 教师利用课件展示练习题，学生交流合作，教师指导分析列表或画树状图． 1．在一个不透明的盒子里装有用“贝贝(B)”、“晶晶(J)”、“欢欢(H)”、“迎迎(Y)”和“妮妮(N)”五个福娃的图片制成的五张外形完全相同的卡片．小华设计了四种卡片获奖的方案(每个方案都是前后共抽两次，每次从盒子里抽取一张卡片)． ①第一次抽取后放回盒子并混合均匀，先抽到“B”，后抽到“J”；

②第二次抽取后放回盒子并混合均匀，抽到“B”和“J”(不分先后)；

③第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B”，后抽到“J”；

④第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B”和“J”(不分先后)． 问：(1)上述四种方案，抽中卡片的概率依次是________，________，________，________． (2)如果让你选择其中的一种方案，你会选择哪种方案？为什么？ 四、小结与作业 小结 1．一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的，通常可用列表法和树状图法求得各种可能结果． 2．注意第二次放回与不放回的区别． 3．一次实验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，通常采用树状图法． 布置作业 从教材相应练习和“习题25.2”中选取． 本课通过生活实例引入新课，激发学生的学习兴趣，通过例题分析用树状图法和列表法求概率的具体步骤和方法．并比较它们的优劣，让学生有比较地掌握方法，让学生理解更深