苏教版高中数学必修1,§2.2 充分条件、必要条件、充要条件,学案（Word版含答案）
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.3.理解充要条件的意义，会判断一些简单的充要条件问题． 导语 不知道大家有没有这样的经历，在初中的某次考试没有考好，父母就着急了，说：“初中不好好学习就考不上高中，考不上高中就考不上大学，考不上大学就找不到工作，找不到工作就找不到对象……那么，你这一辈子就完了！”大家同意这么糟糕的说法吗？静下心来想想，一次没有考好，跟后面这些事情有关系吗？把几乎没有关系的两件事情理解成了充分条件，让你们的父母徒增烦恼，当然你们也有了不小的压力，所以，大家要好好学习这节课，这样你就能解决你父母的烦恼了！ 一、充分条件与必要条件 问题1 如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 提示 “绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，也许是直接掰断，也许是因为“绳锯”；
同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式．正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”． 知识梳理 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点：
(1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 例1 指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)p：a∈Q，q：a∈R；
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；
(3)已知x∈R，p：x>2，q：x>4. 解 (1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． (3)方法一 由x>2⇏x>4，所以p不是q的充分条件． 方法二 设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>4}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 反思感悟 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 跟踪训练1 (1)“x>2”是“x2>4”的________条件． 答案 充分 解析 x>2⇒x2>4，故“x>2”是“x2>4”的充分条件． (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①在△ABC中，p：∠B与∠C互余，q：△ABC为直角三角形；
②p：|x|>2，q：x>2. 解 ①因为∠B＋∠C＝90°，所以∠A＝90°， 所以△ABC为直角三角形， 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． ②因为当|x|>2时，x>2或x<－2， 所以p⇏q， 所以q不是p的必要条件． 二、充要条件 问题2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题是真命题？如果条件和结论互换，这些命题的真假又是怎样的呢？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则ac<0；
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集． 提示 上述命题中的命题(1)(4)是真命题，条件和结论互换后仍是真命题；
命题(2)是真命题，但条件和结论互换后是假命题；
命题(3)是假命题，但条件和结论互换后是真命题． 知识梳理 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点：
(1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件． 例2 (1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． ①p：x＝1，q：x－1＝；
②p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
③p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
④p：a是自然数；
q：a是正数． 解 ①当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． ②∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． ③由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． ④0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；
又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分又不必要条件． (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解 p：－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 反思感悟 (1)判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；
充要条件也有传递性． (2)应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 跟踪训练2 (1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． ①p：x2>0，q：x>0；
②p：a能被6整除，q：a能被3整除；
③p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解 ①p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要不充分条件． ②p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件． ③p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故p是q的必要不充分条件． ④∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． (2)已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解 设A＝{x|3a<x<a，a<0}， B＝{x|x<－4，或x≥－2}． ∵p是q的充分不必要条件， ∴AB，∴a≤－4或3a≥－2， 即a≤－4或a≥－. 又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0， 即实数a的取值范围为a≤－4或－≤a<0. 三、判定定理、性质定理与充分、必要条件 知识梳理 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 注意点：
(1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件． 例3 指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述． (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
(2)正方形的对角线互相垂直且相等． 解 (1)是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个平行四边形是正方形”的充分条件是“这个平行四边形的对角线互相垂直且相等”． (2)是性质定理，用必要条件的语言表述为“四边形的对角线互相垂直且相等”是“这个四边形为正方形”的必要条件． 反思感悟 (1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了结论成立的依据，则是判定定理，否则是性质定理． (2)判定定理给出了结论成立的充分条件，性质定理给出了结论成立的必要条件，所以判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件的语言来表述． 跟踪训练3 指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述． (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 解 (1)是判定定理，用充分条件的语言表述为“一个菱形是正方形”的充分条件是“这个菱形有一个角是直角”． (2)是性质定理，用必要条件的语言表述为“两个平面同时和第三个平面相交，它们的交线平行”是“这两个平面平行”的必要条件． 1．知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件的概念及应用． (3)充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系． 2．方法归纳：等价转化． 3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；
条件和结论辨别不清． 1．(多选)使x>4成立的一个充分条件是( ) A．x>5 B．x>6 C．x>3 D．x<3 答案 AB 解析 由x>5⇒x>4，x>6⇒x>4，其他选项均不可推出x>4. 2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 B 解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 3．给出定理“等腰梯形在同一底上的两个角相等”，下列说法正确的是( ) A．该定理是判定定理，可用充分条件的语言来表述 B．该定理是判定定理，可用必要条件的语言来表述 C．该定理是性质定理，可用充分条件的语言来表述 D．该定理是性质定理，可用必要条件的语言来表述 答案 D 解析 此定理揭示了等腰梯形的某个特征，是性质定理，可用必要条件的语言来表述． 4．若“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，1] 解析 因为“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件， 所以(－1,3)是(2a－3，＋∞)的真子集， 则2a－3≤－1，解得a≤1. 1．“m≥－1”是“m≥－2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由m≥－1可以推出m≥－2，但反之不成立，故“m≥－1”是“m≥－2”的充分不必要条件． 2．(多选)使ab>0成立的充分条件是( ) A．a>0，b>0 B．a＋b>0 C．a<0，b<0 D．a>1，b>1 答案 ACD 解析 因为a>0，b>0⇒ab>0；
a<0，b<0⇒ab>0；
a>1，b>1⇒ab>0，所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件． 3．使x>1成立的一个必要条件是( ) A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2 答案 A 解析 只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出． 4．“1<x<2”是“x≤2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}， 则AB. 故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件． 5．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是( ) A．a，b都为1 B．a，b不都为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 答案 C 解析 由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)(b－1)＝0， ∴a＝1或b＝1，故“a，b中至少有一个为1”是“ab＋1＝a＋b”的充要条件． 6．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是( ) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x>2，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 答案 BC 解析 A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；
B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；
C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；
D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件． 7．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件． 答案 必要 充分 解析 由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件． 8．已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 答案 m≤－7或m≥1 解析 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1. 9．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解 (1)∵x2＝2x＋1⇏x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件． (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件． (3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0， 而(x－1)(y－2)＝0⇏ (x－1)2＋(y－2)2＝0， ∴p是q的充分条件． 10．设命题p：≤x≤1；
命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解 设A＝， B＝{x|a≤x≤a＋1}， 由p是q的充分不必要条件，可知AB， ∴或 解得0≤a≤， 故所求实数a的取值范围是0≤a≤. 11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是( ) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 答案 B 解析 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；
对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2和xy>1，但命题不成立，也不符合题意． 12．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1， 由集合的包含关系可知选A. 13．(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；
q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是( ) 答案 BD 解析 由题图知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件，故选BD. 14．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 答案 {a|a≤－9} 解析 ∵q：x<1＋a或x>1－a，∴a≤0. ∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤－9. 15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A 解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 16．设M＝{x|x<－3，或x>5}，N＝{x|－a≤x≤8}，命题p：x∈M，命题q：x∈N. (1)当a＝－6时，试判断命题p是命题q的什么条件；
(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求a的取值范围． 解 (1)M＝{x|x<－3，或x>5}， 当a＝－6时，N＝{x|6≤x≤8}， ∵命题p：x∈M，命题q：x∈N， ∴q⇒p，p⇏q， ∴命题p是命题q的必要不充分条件． (2)M＝{x|x<－3，或x>5}， N＝{x|－a≤x≤8}， ∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴NM， ∴当－a>8，即a<－8时，N＝∅，满足题意；
当－a＝8，即a＝－8时，N＝{8}，满足题意；
当－a<8，即a>－8时，N＝{x|－a≤x≤8}， 故－a>5，解得a<－5，∴－8<a<－5. 综上所述，a的取值范围是{a|a<－5}．