初中数学概念认知能力培养+初中数学综合实践课教学设计及建议—《三角形首饰盒》为例
初中数学概念认知能力的培养
一、数学概念认知能力的培养在教学中的地位和作用
要使学生学好数学这一门科学知识，教师要注重加强学生对数学概念的认知能力的培养，因为数学概念是数学科学中最基础的，也是很重要的知识，是学好数学知识的起点，正确理解和领会概念是学好数学的前提条件，也是发展学生智力，培养学生的思维能力，提高学生素质不可缺少的一环。一个人的数学“认知结构”如何，解题能力高低，数学认知能力的优劣，无不与数学概念掌握情况有关。因此，加强数学概念的教学每个教师必须高度重视，它是关系到学生能否学好数学的关键。
二、认知数学概念的培养方式
概念是人脑对客观事物本质属性的一种反映形式，是人们在长期实践活动中智慧的结晶，也是整个教学过程所积累的主要知识点，是数学思维的一个重要起点。数学概念的教学与对学生概念认知能力的培养有密切的联系。中学数学里包含着大量的数学概念，利用恰当的方法引入概念，学生不但能有意义地获得对概念意识，而且通过对概念获得的过程，有利于发展他们的归纳推理能力，相比灌输的方式教授概念的模式而言，可以产生更好的教学效果。认知数学概念的途径大致包括以下几种：
（一）
展现生活实例，提取现实模型
中学中的许多数学概念在我们的现实生活中都能找到与之对应的“影子”。对于这类数学概念我们可以从实际生活中引入对应的数学概念，有助于学生将客观的现实模型与数学知识之间进行融合，加强对数学概念认知能力的主动性。比如：现实生活存在着“温度零上或零下多少度的说法”这类具有相反关系的量，我们引进了正数与负数及它们互为相反数的数学概念。生活中许多对应关系，如身高与体重的关系、圆的面积与半径的关系、不同温度随时间变化的关系等我们逐渐体会到了变量之间依存关系，进而引入了“函数”的概念。几何变换中的旋转、平移、对称图形我们也可以分别从车轮、收割机、蝴蝶等实物模型中受到启发。
（二）
以旧换新，类比中看差异。
从人类认知事物的发展特征来看，一般都是一个由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的过程。有些数学概念产生于我们已知的相对清晰的初级概念中，这时就需要根据新旧概念之间的逻辑关系，采用恰当的方式让学生通过观察、对比、辨析、探讨它们之间的异同，从而反映出学生对建立起新概念认知能力的敏捷性。比如：在平行四边形的基础上我们增加“有一组邻边相等”的属性，得到了“菱形”的概念，再在菱形的基础上我们增加“有一个内角是直角”的属性，得到了“正方形”的概念，平面几何中的多数概念多是这种推演之下而得到对新概念的认知的。又如，在学习分式的约分，可以类比分数的约分，通过组织引导学生回忆并练习分数的约分可导出分式约分的概念和法则等。
（三）
从历史性数学问题中拓展出的数学新概念
在数学课堂教学环节里，有时为引入一个新的数学概念，此时老师会提出一个“难解决的问题”给学生思考。学生从已知的知识中无法去判断这个概念，教师就可以说说这个概念正是某个重大历史数学问题的来源，并且举出一些例子让学生判断哪些属于这个新概念，最终总结出新概念的特性。学生就能逐步加深对此概念的理解，增强学生认识新事物的探索性。学生相对于已认知概念而言对新概念的认知能力得到升华。比如：边长为1的正方形对角线的长度
无法直接在数轴上表示出来，从而教师在学生认识了有理数概念的基础上进一步引进了无理数的概念，并说明这一概念产生的根源正来源于第一次数学危机后，可以举例：0、
、π、
哪些属于无理数，再追问无理数
不能直接在数轴上表示出来是否就不能间接表示啊?因为
的长度是确定的，就可以引导学生想想通过圆规这一工具是否就可以做到呢?这样学生对无理数的表示就知道用辅助工具是可以做到的，从而对其概念的理解会更加透彻。
（四）注重概念间的关键词、关键字形成潜认知能力
对于构成一些数学概念的本质属性，通过对关键词、关键字眼的理解，可以促进学生对概念理解的深刻性，形成潜认知能力。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念基础之上的。“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最简单的整式方程。这样学生便于抓住“一元一次方程”的本质，并为以后学习其它方程的概念打下基础。同理对一次函数、二次函数及正比例函数、反比例函数从关键字眼上也可同样类比去理解其潜在含义。
三、抓住数学概念的内涵与外延升华认知能力
数学概念认知能力的初步形成的同时，对概念的内涵和外延的把握是认知能力形成的高级阶段，也是对数学概念由表及里思维扩展的认知阶段。这个过程中，对学生学习数学概念的准确性、严谨性认知能力的培养都至关重要。数学概念的内涵和外延还存在着“反向”的相依关系内涵越少，外延就越大；
内涵越多，外延就越小。自然数是人们认识“数”中最开始接触的一个数学概念，随着人类生活的发展需要，逐渐引入了有理数、无理数及实数的概念。实数中包含了自然数、有理数、无理数，显然实数的范围就比自然数要大得多。从四边形的边、角这两大方向的种差的抽象化可学习好特殊四边形概念的类结构: 唯一一组对边平行+四边形→梯形；
两组对边平行+四边形→平行四边形。
继续抽象特殊化:另一组对边相等+梯形→等腰梯形，有一个直角+梯形→直角梯形；
有一个直角+平行四边形→矩形，邻边相等+平行四边形→菱形，有一个直角+邻边相等+平行四边形→正方形。
因此可构建数及四边形的基本知识结构图，重现整章基本概念的形成、变化和发展过程，使整章概念系统化，有层次性，有实效性，有利于帮助学生架起概念间的桥梁，形成类结构，促进各概念的迁移与辨析，提高探索能力。
而数学中对各个“数”的划分则是一个概念外延扩大的过程：
正整数、零、负整数 正分数、负分数
整数 分数 小数
有理数 无理数（无限不循环小数，无理根式）
实数
数学中“四边形”的顺序出现是一个概念外延收缩的过程：
四、概念认知能力的培养在课堂教学中的应用
数学概念，实质是对数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的认知理解。因而数学概念认知能力的培养，其重要的一个环节是对数学概念的语言相互转化能力的培养。研究表明：“数学认知能力的发展将更加依赖于数学表征能力的发展，而概念语言认知能力在数学认知能力发展中的作用将进一步减弱或变得非常有限。”因此数学概念语言相互转化能力的培养，主要是指数学概念中的单纯的文字语言向符号语言、图形语言转化。
数学概念单纯的文字语言向符号语言转化关键是如何把概念上表面的文字信息转化为符号信息。例如，在讲圆的有关概念时，圆是初三学生非常熟悉的一种图形，但对圆的概念学生并不明确.而圆的概念是“平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。”对于“定点、定长”就需要老师用图形给学生加以解释。“所有点”也需要老师用图形的形式展现给学生，学生才更理解透彻圆的定义。
再例如在讲锐角三角函数的教学中，让学生理解正弦、余弦、正切、余切概念是表示两条相应的线段之比，实质上就是一个比值，比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与对应角的大小有关，当角的大小确定，比值也唯一确定，因此，它们的自变量是角。为了让学生更加明白这些三角函数的概念，教师可以借助于直角三角形三边之间的关系很直观的来说明各个概念。比如
是表示
的余弦函数的一个完整符号，它不仅表示了三角函数的种类和名称，而且如果从变量的角度来看，它还表示了
是自变量，
是
的函数。在直角三角形中的锐角中它为邻边比斜边的值。如果用字母y来表示这个函数，那么函数与自变量之间的关系也可以像一次函数、二次函数那样用等式来表示，写成y=
，从而让学生明白
是一个整体，只有符号cos是没有任何意义的。
学习数学概念的目的，就是在于实践。因此要让学生通过实际的问题去掌握概念，升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化、具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。
总之，概念是数学基础知识的基础，概念学习尤为重要。教师在对学生数学概念认知能力的培养过程中，应努力通过抓住概念认知能力培养的基本方式、内涵和外延、巩固和应用在现实课堂教学中，使得把看起来隐性的概念显性化，从而培养学生的认知结构能力，才能为学生建立起整个初中数学知识的结构图打下基础，达到把抽象概念学好学透，进而学好学活数学的目的。
初中数学综合实践课教学设计及建议—《三角形首饰盒》为例
1.引言
《2011版数学课程标准》明确把“综合与实践”列入课程内容，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动[1]。“综合与实践”课程设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力[2]。
折纸是一种充满数学味道的艺术。在惊叹折纸艺术美的同时，你是否驻足停留去深究其中的数学原理呢?当把精美的盒子展开时，你曾否关注过那一条条折痕折射出的数学线条呢?将折纸作为一种有趣的数学活动能让学生经历“做”的过程和“思考”的过程，折纸会帮助学生积累数学活动经验，这也是本研究将三角形首饰盒的折叠作为综合实践课的教学素材的原因之一。
2.教学设计
2.1选材分析
开展综合实践课教学，必须合理利用教学资源，以学生为主体，抓住学生兴趣开展教学[3]。由于初中学生好奇心强，三角形首饰盒可激发学生学习兴趣。
初三学生已经习得相似三角形和锐角三角函数，为提高学生对已学知识的应用，特别选择《三角形首饰盒》作为本堂综合实践课的内容。
2.2材料准备
由于三角形首饰盒由盒盖和盒底组成，而盒盖和盒底分别由3个相同的部分拼接而成，因此每个学生需准备6张同样大小的正方形纸，我们选取边长为15cm的正方形纸作为本节课的材料。
2.3学情分析
本次实践课依据选材内容涉及到的数学知识点，将授课对象定为初三学生。本堂课主要是研究三角形首饰盒的展开图分析盒子边长与正方形边长的大小关系，在本堂课之前学生已经掌握了盒底和盒盖的折叠方法。本堂课重在应用数学原理解决实际问题，能培养初中学生的抽象逻辑思维。
2.4教学目标分析
本教学目标是根据《2011数学课程标准》对“综合与实践”的课标要求，从知识与技能、数学思考、问题解决与情感态度四个维度制定。
知识与技能：能根据相似三角形和锐角三角函数的基础知识理解折叠过程的数学原理。
数学思考：通过观察盒盖和盒底学会提出问题。在参与观察三角形首饰盒展开图并且对应找到盒盖和盒底的边长过程中，学会独立思考，能清晰地表达自己的想法。
问题解决：在解决盒子边长与正方形边长关系时，综合运用相似三角形和锐角三角函数的数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
情感与态度：在折叠与计算中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。在分享经验的过程中，锻炼语言组织与表达的能力。
2.5教学重难点分析
重点：三角形首饰盒展开图折痕的分析与计算。
难点：通过折痕计算三角形首饰盒的边长与正方形纸的大小关系。
2.6教学过程设计
1）复习回顾
通过给学生展示作品，让学生回忆步骤，动手操作完成盒盖和盒底的折叠。设计意图是以实物展示调动学生的积极性，培养学生的动手操作能力。
盒盖折叠方法回顾:
盒底折叠方法回顾：
2）
提出问题
通过观察折叠好的盒盖和盒底，发现盒盖比盒底大，并且能用自己的语言进行表达。设计意图是让学生通过观察盒盖和盒底发现问题，提出问题。
3）解决问题
为使盒盖正好能盖上盒底，就需要对折叠盒盖用的正方形纸张进行裁剪，裁剪多少为宜呢?通过完成以下4个探究问题寻求问题答案。设计意图是让学生学会联系学过的数学知识解决简单问题，增强他们的应用意识。
探究问题1：盒底边长与正方形纸边长的大小关系。 让学生将盒底展开，（为了方便下面的叙述与计算，标示相应字母），盒底的展开图如下所示，学生通过观察对比盒底展开前和展开后，从盒底的展开图中找到盒底的对应边长就是PQ。学生通过思考发现运用三角形相似可以求得PQ的边长。
解答过程如下：
探究问题2：盒盖边长与正方形边长的大小关系
盒盖展开图如下，学生通过观察发现盒盖的边长就是HN，且HN=HM+MN。
解答过程如下：
问题拓展：HJ和MG是相等的吗?
学生通过计算发现，HJ和MG不相等，“眼见不一定为实”，数学一定要经过严密的计算和证明。
探究问题3：盒盖与盒底的大小关系
若使盒盖能恰好盖在盒底上，同时兼顾美观与精致，只要盒盖的边长比盒底边长大0.2cm即可，因此需要盒盖的边长为8.77cm。
探究问题4：
折边长为8.77cm的盒盖需要多大的正方形纸
通过前面的探究，学生已知盒盖边长与正方形边长的一般关系式，故设正方形边长为a，
因此当HN=8.77cm时，a=12.15cm。
最后，由于给定的正方形纸边长为15cm，所以只要将正方形纸的边长裁剪为12.15cm，用边长为12.15cm的正方形纸折叠盒盖，用15cm的正方形纸折盒底，那么折叠好的三角形首饰盒就很精致了。
4）
折叠操作
通过观察学生的折叠过程发现学生存在的问题并及时指导，最后让学生互相分享折叠经验。设计意图是让学生体验获得成功的乐趣，提高语言表达能力。
3.教学建议
考虑到学生在折叠过程花费太多时间，建议前一节课就学习折叠盒盖和盒底，这样会避免学生由于忘记折叠方法浪费过多时间。
在综合实践活动中， 教师应该真正参与到学生的实践活动中去，了解学生的想法， 发现学生的问题。由于时间有限，在最后学生折叠操作的环节教师没有时间给予每个学生指导，无法深入了解每个学生。
综合实践课的问题设置要由浅入深，呈梯度推进[4].虽然本节课涉及的4个探究问题环环相扣，不仅调动学生思考的积极性，而且调动学生联系已有的数学知识来解决实际问题，但是还应将问题更一般化，比如再增加一个探究问题5—折叠给定大小的盒子时需要多大的正方形纸，这样就可以让学生灵活应用已有的数学知识。
综合实践课的问题解决具有灵活性。本文是从盒底与盒盖的的边长入手进行计算，还可以从盒底与盒盖的高度来进行分析计算。
参考文献：
[1] 朱桂凤，孙朝仁. 数学综合实践课的设计与思考—以一节综合实践课的教学设计为例[J].中学数学杂志，2012（6）：37-40.
[2] 《2011版数学课程标准》
[3] 黄燕苹，李秉彝 .折纸与数学[M].北京：科学出版社，2012.
[4] 贾海燕.初中数学综合实践课的开展与研究[J].教育研究，2007（12）：449.